专题限时集训(九) 三角函数和解三角形 1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)在① ac＝，② csinA＝3，③ c＝b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sin A＝sin B，C＝，________？注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分．[解] 方案一：选条件①.由 C＝和余弦定理得＝.由 sin A＝sin B 及正弦定理得 a＝b.于是＝，由此可得 b＝c.由① ac＝，解得 a＝，b＝c＝1.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时 c＝1.方案二：选条件②.由 C＝和余弦定理得＝.由 sin A＝sin B 及正弦定理得 a＝b.于是＝，由此可得 b＝c，B＝C＝，A＝.由② csin A＝3，所以 c＝b＝2，a＝6.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时 c＝2.方案三：选条件③.由 C＝和余弦定理得＝.由 sin A＝sin B 及正弦定理得 a＝b.于是＝，由此可得 b＝c.由③ c＝b，与 b＝c 矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．2.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C．(1)求 A；(2)若 a＋b＝2c，求 sin C．[解] (1)由已知得 sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得 b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得 cos A＝＝.因为 0°＜A＜180°，所以 A＝60°.(2)由(1)知 B＝120°－C，由题设及正弦定理得 sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得 cos(C＋60°)＝－.由于 0°＜C＜120°，所以 sin(C＋60°)＝，故 sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝.3．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asin＝bsin A．(1)求 B；(2)若△ABC 为锐角三角形，且 c＝1，求△ABC 面积的取值范围．[解] (1)由题设及正弦定理得 sin Asin＝sin Bsin A．因为 sin A≠0，所以 sin＝sin B．由 A＋B＋C＝180°，可得 sin＝cos，故 cos＝2sincos.因为 cos≠0，故 sin＝，因此 B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积 S△ABC＝a.由(1)知 A＋C＝120°.由正弦定理得 a＝＝＝＋.由于△ABC 为锐角三角形，故 0°
