8.7.1 利用空间向量求线线角与线面角核心考点·精准研析考点一 异面直线所成的角 1.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN所成角的余弦值为( )A.B.C.D.2.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1=AB=AC,AB⊥AC,M 是 CC1 的中点,Q 是 BC 的中点,点 P 在 A1B1上,则直线 PQ 与直线 AM 所成的角为________. 3.如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E 是棱 CC1的中点,=λ,若异面直线 D1E 和 A1F 所成角的余弦值为,则 λ 的值为________. 【解析】1.选 C.建立如图所示空间直角坐标系.设 BC=CA=CC1=2, 则 可 得 A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,2),N(1,0,2), 所 以=(1,-1,2),=(-1,0,2).所以 cos<,>====.2.建立如图所示的空间直角坐标系,设 AA1=2,则 A(0,0,0),M(0,2,1),P(t,0,2)(0≤t≤2),Q(1,1,0), 故=(0,2,1),=(1-t,1,-2), 而·=0, 故⊥.所以 PQ 与 AM 所成的角为 .答案:3.以 D 为原点,以 DA,DC,DD1分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,正方体的棱长为 2,则A1,D1,E,A ,所以=,=+=+λ=+λ=,所以cos<,>===,解得 λ= (λ=- 舍去).答案: 求异面直线所成的角的两个关注点(1)用向量方法求两条异面直线所成的角,是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的.(2)由于两异面直线所成角的范围是 θ∈ 0,,两方向向量的夹角 α 的范围是(0,π),所以要注意二者的区别与联系,应有 cos θ=|cos α|.考点二 直线与平面所成的角 【典例】(2018·全国卷Ⅰ)如图,四边形 ABCD 为正方形,E,F 分别为 AD,BC 的中点,以 DF 为折痕把△DFC 折起,使点 C 到达点 P 的位置,且 PF⊥BF.(1)证明:平面 PEF⊥平面 ABFD.(2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值.【解题导思】序号联想解题(1)要证面面垂直,先想到判定定理(2)要求线面角,考虑用向量法,想到如何建立空间坐标系.【解析】(1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,PF∩EF=F,所以 BF⊥平面 PEF.又 BF⊂平面 ABFD,所以平面 PEF⊥平面 ABFD.(2)方法一:作 PH⊥EF,垂足为 H.由(1)得,PH⊥平面 ABFD.以 H 为坐标原点,的方向为 y 轴正方向,设正方形 ABCD 的边长为 2,建立如图所示的空间直角坐标系 H-xyz.由(1)可得,DE⊥PE.又 DP=2,DE=1,所以 PE=.又 PF=1,EF=2,故 PE⊥PF.可得 PH=,EH= .则 H(0,0,0),P,D,=,=为平面 ABFD 的一个法向量.设 DP 与平面 ABFD 所成角为 θ,则 sin θ===....
