专题三 数列与数学归纳法第一讲数列的通项一、基础知识要记牢an＝使用时要注意对第一项的求解与检验，如果符合 an＝Sn－Sn－1的规律才能合并，否则要写成分段的形式．二、经典例题领悟好[例 1] (2018 届高三·浙东北三校联考)已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn，a＝4Sn＋4n＋1，n∈N*，且 a2，a5，a14恰是等比数列{bn}的前三项．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)记数列{bn}的前 n 项和为 Tn，若对任意的 n∈N*，k≥3n－6 恒成立，求实数 k 的取值范围．[解] (1) a＝4Sn＋4n＋1(n∈N*)，∴a＝4Sn－1＋4(n－1)＋1(n≥2)，两式相减，得 a－a＝4an＋4(n≥2)，∴a＝(an＋2)2(n≥2)．又 an>0，故 an＋1＝an＋2(n≥2)．即 an＋1－an＝2(n≥2)．又 a＝a2a14，即(a2＋6)2＝a2(a2＋24)，解得 a2＝3，又 a＝4S1＋4＋1，故 a1＝S1＝1.∴a2－a1＝3－1＝2，故数列{an}是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，故 an＝2n－1.易知 b1＝a2＝3，b2＝a5＝9，b3＝a14＝27，∴bn＝3n.(2)由(1)可知 Tn＝＝.∴k≥3n－6 对任意的 n∈N*恒成立，即 k≥对任意的 n∈N*恒成立．令 Cn＝，则 Cn－Cn－1＝－＝(n≥2)，故当 n＝2,3 时，Cn>Cn－1，当 n≥4，n∈N*时，Cn
