第 27 练 空间向量解决立体几何问题两妙招——“选基底”与“建系”[题型分析·高考展望] 向量作为一个工具，其用途是非常广泛的，可以解决现高中阶段立体几何中的大部分问题，不管是证明位置关系还是求解问题.而向量中最主要的两个手段就是选基底与建立空间直角坐标系.在高考中，用向量解决立体几何解答题，几乎成了必然的选择.常考题型精析题型一 选好基底解决立体几何问题例 1 如图所示，已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a，点 M、N 分别是AB、CD 的中点.(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求 MN 的长；(3)求异面直线 AN 与 CM 夹角的余弦值. 点评 对于不易建立直角坐标系的题目，选择好“基底”也可使问题顺利解决 .“基底”就是一个坐标系，选择时，作为基底的向量一般为已知向量，且能进行运算，还需能将其他向量线性表示.变式训练 1 已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点，(1)求证：E、F、G、H 四点共面；(2)求证：BD∥平面 EFGH；(3)设 M 是 EG 和 FH 的交点，求证：对空间任一点 O，有OM＝(OA＋OB＋OC＋OD). 题型二 建立空间直角坐标系解决立体几何问题例 2 (2015·湖南)如图，已知四棱台 ABCD－A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形，AA1＝6，且 AA1⊥底面 ABCD，点 P，Q 分别在棱 DD1，BC 上.(1)若 P 是 DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；(2)若 PQ∥平面 ABB1A1，二面角 PQDA 的余弦值为，求四面体 ADPQ 的体积. 点评 (1)建立空间直角坐标系前应先观察题目中的垂直关系，最好借助已知的垂直关系建系.(2)利用题目中的数量关系，确定定点的坐标，动点的坐标可利用共线关系(AP＝λa)，设出动点坐标.(3)要掌握利用法向量求线面角、二面角、点到面的距离的公式法.变式训练 2 如图，在底面是矩形的四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，E，F 分别是PC，PD 的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求证：EF∥平面 PAB；(2)求证：平面 PAD⊥平面 PDC. 高考题型精练1.(2015·北京西城区模拟)已知正方体 ABCD－A1B1C1D1中，点 E 为上底面 A1C1的中心，若AE＝AA1＋xAB＋yAD，则 x，y 的值分别为( )A.x＝1，y＝1 B.x＝1，y＝C.x＝，y＝ D.x＝，y＝12.已知平面 ABC，点 M 是空间任意一点，点 M 满足条件OM＝OA＋OB＋OC，则直线 AM( )A.与平面 ABC 平行 B.是平面 ABC 的斜线C.是平面 ABC 的垂线 D.在平面 AB...
