绕过求交点 学法指导 不分版本考试卷VIP专享VIP免费

绕过求交点朱斌在解析几何中，有一类涉及曲线的交点问题。对这类问题，若用解方程组求交点坐标的方法解答，往往比较麻烦。下面举例介绍四种不求交点坐标也能解决问题的方法，供参考。 1. 设而不求这种方法是先设出两曲线的交点（x0，y0），再根据曲线和方程的关系，利用 x0，y0过渡，达到绕过求交点坐标的目的。 例 1. 若 AB 为双曲线的任一弦，且 AB 被已知直线平分。求证直线 AB 有定向（即斜率一定）。解：设弦 AB 的端点的坐标分别为，则有两式相减，得所以又 AB 的中点在直线 y＝kx 上，故所以（定值）因此，直线 AB 有定方向。 2. 用韦达定理 例 2. 已知动圆过定点（，0），且与直线相切，其中 p>0（1）求动圆圆心的轨迹 C 的方程；（2）设 A、B 是轨迹 C 上异于原点的两个不同点，直线 OA 和 OB 的倾斜角分别为 α 和 β，当α，β 变化时，且时，证明直线 AB 恒过定点。解：（1）轨迹方程为（略）（2）设 A（x1，y1），B（x2，y2）由题知又直线 OA、OB 的倾斜角分别为 α，β 且故所以直线 AB 的斜率均存在，否则直线 OA、OB 的倾斜角之和为 π，从而设 AB 方程为 y＝kx＋b显然将与联立消去 x 得由韦达定理得由 经整理化简得此时，直线 AB 的方程可表示为即所以，直线 AB 恒过定点 3. 引入参数适当地引入参数，像过河搭桥一样，可以绕过求交点的坐标，顺利达到彼岸。 例 3. 求直线与过两点 P（―1，―2），Q（1，4）的直线的交点 M 分 PQ 的比。分析：此题常规的思路是：先求出 PQ 和直线的交点坐标，再求比值。若设比值为 （参数），则可绕过求交点。解：设 M（x0，y0）分 PQ 所成的比为 ，则 M 点的坐标为因为 M 点在已知直线上，坐标满足直线方程，所以解得故 M 点分 PQ 的比为 11:2 4. 运用曲线方程若二次曲线的方程是和，那么通过它们的交点的曲线系方程为（ 是任意的实数）。由此可以绕过求交点的坐标。 例 4. 求证两椭圆和的交点在以原点为圆心的圆周上，并求这个圆的方程。证明：将已知两个方程相加（），可得即也就是说，交点（x，y）在以原点为圆心的圆上，方程（*）即为所求。上述四种解法是绕过求交点坐标的常用方法。由于对同一的题目可以采用不同的思路，因此，在实际解题时，我们根据不同题目的特点，灵活运用上述的方法，确定最佳的解题方案。