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绕过求交点 学法指导 不分版本考试卷VIP免费

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绕过求交点朱斌在解析几何中,有一类涉及曲线的交点问题。对这类问题,若用解方程组求交点坐标的方法解答,往往比较麻烦。下面举例介绍四种不求交点坐标也能解决问题的方法,供参考。 1. 设而不求这种方法是先设出两曲线的交点(x0,y0),再根据曲线和方程的关系,利用 x0,y0过渡,达到绕过求交点坐标的目的。 例 1. 若 AB 为双曲线的任一弦,且 AB 被已知直线平分。求证直线 AB 有定向(即斜率一定)。解:设弦 AB 的端点的坐标分别为,则有两式相减,得所以又 AB 的中点在直线 y=kx 上,故所以(定值)因此,直线 AB 有定方向。 2. 用韦达定理 例 2. 已知动圆过定点(,0),且与直线相切,其中 p>0(1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程;(2)设 A、B 是轨迹 C 上异于原点的两个不同点,直线 OA 和 OB 的倾斜角分别为 α 和 β,当α,β 变化时,且时,证明直线 AB 恒过定点。解:(1)轨迹方程为(略)(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2)由题知又直线 OA、OB 的倾斜角分别为 α,β 且故所以直线 AB 的斜率均存在,否则直线 OA、OB 的倾斜角之和为 π,从而设 AB 方程为 y=kx+b显然将与联立消去 x 得由韦达定理得由 经整理化简得此时,直线 AB 的方程可表示为即所以,直线 AB 恒过定点 3. 引入参数适当地引入参数,像过河搭桥一样,可以绕过求交点的坐标,顺利达到彼岸。 例 3. 求直线与过两点 P(―1,―2),Q(1,4)的直线的交点 M 分 PQ 的比。分析:此题常规的思路是:先求出 PQ 和直线的交点坐标,再求比值。若设比值为 (参数),则可绕过求交点。解:设 M(x0,y0)分 PQ 所成的比为 ,则 M 点的坐标为因为 M 点在已知直线上,坐标满足直线方程,所以解得故 M 点分 PQ 的比为 11:2 4. 运用曲线方程若二次曲线的方程是和,那么通过它们的交点的曲线系方程为( 是任意的实数)。由此可以绕过求交点的坐标。 例 4. 求证两椭圆和的交点在以原点为圆心的圆周上,并求这个圆的方程。证明:将已知两个方程相加(),可得即也就是说,交点(x,y)在以原点为圆心的圆上,方程(*)即为所求。上述四种解法是绕过求交点坐标的常用方法。由于对同一的题目可以采用不同的思路,因此,在实际解题时,我们根据不同题目的特点,灵活运用上述的方法,确定最佳的解题方案。

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