不等式与矩阵选讲1、（2009 金陵中学三模）1）设是正数，求证：；（2）若，不等式是否仍然成立？如果仍成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的的值．简证：（1）∵，∴， ，，三个同向正值不等式相乘得．------------------------------5分简解：（2）时原不等式仍然成立．思路 1：分类讨论、、、证；思路 2：左边=．---------------10 分2、（2009 南京一模）已知矩阵，。在平面直角坐标系中，设直线 在矩阵对应的变换作用下得到的曲线，求曲线的方程解:由题设得,设是直线上任意一点,点在矩阵对应的变换作用下变为,则有, 即 ,所以因为点在直线上,从而,即：所以曲线的方程为 3、（2009 南京一模）．选修 4-5：不等式选讲，已知为正数，求证：.证明：，所以 4、（2009 通州第四次调研）2．（矩阵与变换）已知矩阵 ，向量.（1）求矩阵的特征值、和特征向量、； （2）求的值.解：(1)矩阵的特征多项式为 ，令，得,当时，得,当时，得. …………………5 分(2)由得，得.∴ .……………………10 分5、（2009 通州第四次调研）（不等式选讲）对于任意实数 a（a≠0）和 b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|(|x－1|＋|x－2|恒成立，试求实数 x 的取值范围． 解 ： 由 题 知 ，恒 成 立 ， 故 |x － 1| ＋ |x － 2| 不 大 于的最小值∵当且仅当（a＋b）(a－b) ≥0 时取等号∴的最小值等于 2. 5 分∴x 的范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2 的解解不等式得 10 分6、（2009 盐城中学第七次月考）不等式选讲已知 x，y，z 均为正数．求证：111 .xyzyzzxxyxyz≥证明：因为 x，y，z 无为正数．所以12()xyxyyzzxz yxz≥， ……………………4 分同理可得22yzzxzxxyx xyyzy≥，≥， ………………………………………7 分当且仅当 x＝y＝z 时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以 2，得111xyzyzzxxyxyz≥．…………10 分7、（2009 扬州大学附中 3 月月考）设是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍，纵坐标伸长到倍的伸压变换．（Ⅰ）求矩阵的特征值及相应的特征向量；（Ⅱ）求逆矩阵以及椭圆在的作用下的新曲线的方程． 解：（Ⅰ）由条件得矩阵，它的特征值为和，对应的特征向量为及；（Ⅱ），椭圆在的作用下的新曲线的方程为．www.jk.zy.w.com
