空间角的向量解法 严少林在立体几何中，涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等。关于角的计算，均可归结为求两个向量的夹角。对于空间向量 a，b，利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中角的问题。一、求异面直线所成角 例 1. 已知正四面体，E、F 分别为 AB、OC 的中点，求 OE 与 BF 所成的角。解：如图 1，设正四面体 O—ABC 的棱长为 1图 1则， 故 OE 与 BF 所成的角为。文华点精：求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，可求两向量的坐标，也可以把所求向量用一组基向量表示。需要注意的是：两向量的夹角范围是，而两异面直线所成角的范围是，算出结果后应注意调整。二、求线面角、二面角 例 2. 如图 2，ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥面 ABCD，SA＝AB＝BC＝1，。（1）求面 SCD 和面 SAB 所成二面角的大小；（2）求 SC 与平面 ABCD 所成的角。图 2解：（1）可利用两个平面的法向量来求这两个平面所成的二面角。在本题中，面 SAB 的法向量是，可令面 SCD 的法向量为，则 故用 θ 表示所求二面角，则：（2）先求与的夹角又从而 CS 和面 ABCD 所成的角为。文华点精：①直线 与平面 α 的夹角 θ，是直线 的方向向量 m 与平面 α 的法向量 n 的夹角 β（锐角）的余角，故有。② 设二面角为分别是平面 α、β 的法向量，则 θ 与相等或互补。用向量法求解空间角，避开了“作、证”两个基本步骤，只剩下单纯的计算，解题过程实现了程序化，易于求解。
