1 第 十 六 讲 相 似 三 角 形 (二 ) 上 一 讲 主 要 讲 述 了 相 似 三 角 形 与 比 例 线 段 之 间 的 关 系 的 计 算 与 证 明 ，本 讲 主 要 讲 述 相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质 的 应 用 ． 例 1 如 图 2-76 所 示 ． △ ABC 中 ， AD 是 ∠ BAC 的 平 分 线 ． 求 证 ：AB∶ AC=BD∶ DC． 分 析 设 法 通 过 添 辅 助 线 构 造 相 似 三 角 形 ， 这 里 应 注 意 利 用 角 平 分 线产 生 等 角 的 条 件 ． 证 过 B引 BE∥ AC，且 与 AD的 延 长 线 交 于 E．因 为 AD平 分 ∠ BAC，所 以 ∠ 1=∠ 2． 又 因 为 BE∥ AC， 所 以 ∠ 2=∠ 3． 从 而 ∠ 1=∠ 3， AB=BE． 显 然 △ BDE∽ △ CDA， 所 以 BE∶ AC=BD∶ DC， 2 所以 AB∶AC=BD∶DC． 说明 这个例题在解决相似三角形有关问题中，常起重要作用，可当作一个定理使用．类似的还有一个关于三角形外角分三角形的边成比例的命题，这个命题将在练习中出现，请同学们自己试证． 在构造相似三角形的方法中，利用平行线的性质(如内错角相等、同位角相等)，将等角“转移”到合适的位置，形成相似三角形是一种常用的方法． 例 2 如图 2-77 所示．在△ABC 中，AM 是 BC 边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE 的延长线于 D，且交 AM 延长线于 F．求证：EF∥AB． 分析 利用角平分线分三角形中线段成比例的性质，构造三角形，设法证明△MEF∽△MAB，从而 EF∥AB． 证 过 B 引 BG∥AC 交 AE 的延长线于 G，交 AM 的延长线于 H．因为 AE 是∠BAC 的平分线，所以 ∠BAE=∠CAE． 3 因为 BG∥AC，所以 ∠CAE=∠G，∠BAE=∠G， 所以 BA=BG． 又 BD⊥AG，所以△ABG 是等腰三角形，所以 ∠ABF=∠HBF， 从而 AB∶BH=AF∶FH． 又 M 是 BC 边的中点，且 BH∥AC，易知 ABHC 是平行四边形，从而 BH=AC， 所以 AB∶AC=AF∶FH． 因为 AE 是△ABC 中∠BAC 的平分线，所以 AB∶AC=BE∶EC， 所以 AF∶FH=BE∶EC， 即 (AM+MF)∶(AM-MF)=(BM+ME)∶(BM-ME)(这是因为 ABHC 是平行四边形，所以 AM=MH 及 BM=MC．)．由合分比定理，上式变为 4 AM∶ MB=FM∶ ME． 在 △ MEF 与 △ MAB 中 ， ∠ EMF=∠ AMB， 所 以 △ MEF∽ △ MAB ...
