海 伦 —秦 九 昭 公 式 的 推 导 与应用 海 伦 公 式 又 译 作 希 伦 公 式 、海 龙 公 式 、希 罗 公 式 、海 伦 － 秦 九 韶 公 式 ， 传说 是 古 代 的 叙 拉 古 国 王 希 伦 （ Heron,也 称 海 龙 ） 二 世 发 现 的 公 式 ， 利 用 三 角 形 的 三 条 边 长 来 求 取三 角 形 面 积 。 但 根 据Morris Kline 在1908 年 出 版 的 著 作 考 证 ， 这 条 公 式其 实 是 阿 基 米 德 所 发 现 ， 以 托 希 伦 二 世 的 名 发 表 （ 未 查 证 ） 。 我 国 宋 代 的数 学 家 秦 九 韶 也 提 出 了 “三 斜 求 积 术 ”， 它 与 海 伦 公 式 基 本 一 样 。 假 设 有 一 个 三 角 形 ， 边 长 分 别 为a、b、c， 三 角 形 的 面 积S 可 由 以 下公 式 求 得 ： S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而 公 式 里 的p 为 半 周 长 ： p=(a+b+c)/2 —————————————————————————————————————————————— 注 1： "Metrica"(《度量论》)手抄本 中用s 作 为 半 周 长 ， 所 以 S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两 种 写 法 都 是 可 以的 ， 但 多 用p 作 为 半 周 长 。 —————————————————————————————————————————————— 由 于 任 何n 边 的 多 边 形 都 可 以 分 割 成n-2 个 三 角 形 ， 所 以 海 伦 公 式 可以 用 作 求 多 边 形 面 积 的 公 式 。 比 如 说 测 量 土 地 的 面 积 的 时 候 ， 不 用 测 三 角形 的 高 ， 只 需 测 两 点 间 的 距 离 ， 就 可 以 方 便 地 导 出 答 案 。 证 明 （ 1） ： 与 海 伦 在 他 的 著 作 "Metrica"(《 度 量 论 》 )中 的 原 始 证 明 不 同 ， 在 此 我们 用 三 角 公 式 和 公 式 变 形 来 证 明 。 设 三 角 形 的 三 边a、b、c 的 对角 分 别为A、B、C， 则余弦定理为 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2...
