第五节矢量的混合积与二重矢积VIP专享VIP免费

21 定理 三矢量a、 b、 c 共面的充分必要条件是它们的混合积)(cba=0，也即 0321321321cccbbbaaa 证 因为),cos()(cbacbacba 若0)(cba，则只有0a或0cb或0),cos(cba 10 若0a，则 a, b, c 共面； 20 若0cb，则 b, c 共线，即 a, b, c 共面； 30 若0),cos(cba，则2 ，即 a 垂直于cb ，也即 a, b, c 共面. 反之亦然. θbcabcθbabcc 图 7-28 22 如果a , b , c 共面，将它们的起点移到一起，并以三矢量为棱作成一个平行六面体，如图7-28 所示. 若当a 与cb的夹角为锐角，)20(  由),cos()(cbacbacba 其中cb等于平行六面体的底面面积. cbacbaa)(),cos(，即a 在cb上的投影, 也即，)cos(cba,a等于这个平行六面体的高.得)(cba等于平行六面体的体积. 若a 与cb的夹角为钝角，)2(0),cos(cba 则)(cba等于平行六面体的体积. 这样，我们得到以a、 b、 c 为棱边的平行六面体的体积 )()(cbacbaV 这也是三矢量a、 b、 c 的混合积的几何意义. 例 1 已知kjickjibkjia32,3,32 2 3 求 )(cba. 解 由三矢量混合积的坐标表达式 1333113)1(32112321113312)(cba 553)8()1()1(2 例 2 试求以 A(2 ,0 ,0 ), B(-1 ,2 ,3 ), C(4 ,1 ,0 ), D(5 ,0 ,1 )为顶点的四面体的体积. 解 如图 7 -2 9 由几何知识可得 )(6161ADACABVV六面体四面体 其中 kji323AB, ji 2AC, ki 3AD. 2 4 1 6943103012323)(ADACAB 则所求四面体的体积 381 661四面体V CABD 图7 -2 9 下面讨论三矢量a、 b、 c 所确定的混合积的性质. 10 顺次轮换混合积中三个矢量，所得混合积不变，即 )()()(bacacbcba 设kjia321aaa，kjib321bbb，kjic321ccc 由三阶行列式的性质：交换行列式任意两行的元素行 25 列式要改变符号.我们有 )(212121321321321321321321baaaccbbcccaaabbbcccbbbaaac 同理可证 )()(bacacb 由上述行列式的性质还可得 2 0 任意对调混合积中两矢量的位置所得混合积的绝对值不变，但符号相反，即有 )()(bcacba; )(...