第五讲二次型标准形规范形化简与定性判别VIP免费

1 第五讲 二次型标准形规范形化简与定性判别 1 .二次型的矩阵形式和矩阵的合同 2 .二次型标准形化简（对称变换法、配方法、正交变换法） 3 .二次型规范形化简（开方法） 4 .实二次型定性判别（惯性指数法、特征值法、顺序主子式法、定义法） 1 二次型的矩阵形式和矩阵的合同 二次型的概念 定义1 含有n 个变量12,,,nx xx的二次齐次函数 2222121 112 223 33( ,,,)nnnnff x xxa xa xa xa x 1 2121 313112 3232211222222,nnnnnnnna x xa x xa x xa x xa x xaxx 称为 n 元 二次型（其中2iiia x 称为平方项，()ijija x x ij称为混乘项）． 二次型的矩阵形式 若取ijjiaa，则 2ijijijijjijia x xa x xa x x，于是上式可以写成 21 111 2121 31311nnfa xa x xa x xa x x 22 1212 222 323222112233nnnnnnnnnnna x xa xa x xa x xa x xa x xa x xa x 11 111 221 33122 112 222 332()()nnnnx a xa xa xa xx a xa xa xa x 11223311()()nnnnnnnnnijijijx a xa xa xa xa x x  2 1 111 221 3312 112 222 33212112233( ,,,)nnnnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xx xxa xa xa xa x 1 11 2112 12 2221212(,,,)nnnnnnnnaaaxaaaxx xxxaaa  .Tx Ax 其中，12nxxxx  ，1 11 212 12 2212nnnnnnaaaaaaAaaa  ．称( )Tff xx Ax为二次型的矩阵形式． 由ijjiaa，故A 为对称矩阵，即TAA．称对称矩阵A 为该二次型的矩阵．二次型f 称为对称矩阵A 的二次型．对称矩阵A的秩( )r A 称为二次型的秩．在这种情况下，二次型f 与对称矩阵A 之间通过( )Tf xx Ax就建立起一一对应关系，故往往用对...