12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667第五章相似矩阵及二次型1.试用施密特法把下列向量组正交化:(1)⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=931421111) , ,(321aaa;解根据施密特正交化方法,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==11111 ab,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−=101],[],[1112122bbbabab,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−−=12131],[],[],[],[222321113133bbbabbbbabab.(2)⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=011101110111) , ,(321aaa.解根据施密特正交化方法,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==110111 ab,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=−=123131],[],[1112122bbbabab,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=−−=433151],[],[],[],[222321113133bbbabbbbabab.2.下列矩阵是不是正交阵:68(1)⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−121312112131211;解此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵.(2)⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−979494949198949891.解该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵.3.设 x为 n维列向量, xTx=1, 令 H=E−2xxT, 证明 H是对称的正交阵.证明因为HT=(E−2xxT)T=E−2(xxT)T=E−2(xxT)T=E−2(xT)TxT=E−2xxT,所以 H是对称矩阵.因为HTH=HH=(E−2xxT)(E−2xxT)=E−2xxT−2xxT+(2xxT)(2xxT)=E−4xxT+4x(xTx)xT=E−4xxT+4xxT=E,所以 H是正交矩阵.4.设 A与 B都是 n阶正交阵, 证明 AB也是正交阵.证明因为 A, B是 n阶正交阵, 故 A−1=AT, B−1=BT,(AB)T(AB)=BTATAB=B−1A−1AB=E,故 AB也是正交阵.5.求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−201335212;解3)1(201335212||+−=−−−−−−−=−λλλλλEA,故 A的特征值为λ=−1(三重).69对于特征值λ=−1, 由⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−=+000110101101325213~EA,得方程(A+E)x=0 的基础解系 p1=(1, 1, −1)T, 向量 p1 就是对应于特征值λ=−1 的特征值向量.(2)⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛633312321;解)9)(1(633312321||−+−=−−−=−λλλλλλλEA,故 A的特征值为λ1=0, λ2=−1, λ3=9.对于特征值λ1=0, 由⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=000110321633312321~A,得方程 Ax=0 的基础解系 p1=(−1, −1, 1)T, 向量 p1是对应于特征值λ1=0 的特征值向量.对于特征值λ2=−1, 由⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+000100322733322322~EA,得方程(A+E)x=0 的基础解系...
