2023届高考数学二轮复习导数经典技巧与方法：导数与数列不等式VIP免费

第 25 讲 导数与数列不等式 知识与方法 函数、数列、不等式的综合题,是高考压轴题的热点题型之一.一方面,以函数为载体让学生探究函数的性质;另一方面,数列是特殊的函数,在研究数列问题时,我们经常用函数的性质去探究数列的变化规律以及取值范围等.本节,我们介绍几类常见的导数与数列不等式结合的考题及其解决方法. 1.基本类型 (1)数列求和(或积)中的不等问题; (2)通项公式中的不等问题. 对于数列求和的不等问题,通常要将通项公式放缩为可以求和的数列: (1)放缩为等差数列:通项公式:nbpnq; (2)放缩为等比数列:通项公式:11nnbb q ; 【点睛】特别地, 当10,(0,1)bq时, 数列 nb为无穷递缩等比数列, 其前n 项和11111nnbqbTqq.这个不等式经常用到,它的结构为: ? ×Ïî 1 ?«±È nT  ,常常要从第二项或第三项开始放缩. (3)裂项相消求和:通项公式特点:1nnnabb; (4)倒序相加求和:通项公式特点:1kn kbb  常数. 【点睛1】数列求和不等式,要点睛意从通项公式入手,放缩成可求和的数列. 【点睛2】在放缩时要点睛意前几问的铺垫与提示作用,特别是由恒成立与最值问题所得到的不等式,往往提供了放缩的方向. 【点睛3】常用的放缩不等式:ln1,e1,sin(0)xx xxxx x 典型例题   1158nniiiiaf naf n类型或 【例1】数列 na满足1111,22nnaaa. (1)求数列 na的通项公式; (2)设数列 na的前n项和为nS ,证明2ln2nnSn. 【 解析】(1) 由112nnaa 得,1111122nnnnaaaa  , 所以12111nnnaaa, 即11 1111111nnnnaaaa ， 所以111111nnaa ,且1121a , 数列11na是首项为2 ,公差为1 的等差数列, 所要证以111nna  ,故1nnan. (2)要证2ln2nnSn, 即证1112111ln2312nnn, 即证1112ln2312nnnn, 即证1112ln2312nn， 解法1:利用数列的单调性 设 2111ln2231nf nn, 只需证明 f n 的最大值小于0,考察 f n的单调性, 作差:  31111lnln 12222nf nf nnnnn...