平面向量中的最值问题浅析VIP专享VIP免费

平面向量中的最值问题浅析耿素兰山西平定二中（ 045200 ）平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主，解决此类问题要注意正确运用相关知识，合理转化。一、利用函数思想方法求解例 1、给定两个长度为1 的平面向量 OAuuur和 OBuuur，它们的夹角为 120o .如图所示， 点 C 在以 O为圆心的圆弧ABuuuv上变动 .若,OCxOAyOBuuuruuuruuur其中,x yR ,则 xy 的最大值是 ________.分析：寻求刻画C 点变化的变量，建立目标xy 与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。解：设AOC，以点 O 为原点， OA为 x 轴建立直角坐标系， 则(1,0)A，13(,)22B，(cos ,sin)C。Q,OCxOAyOBuuuruuuruuur13(cos,sin)(1,0)(,)22xy即cos23sin2yxycos3sin2sin()6xy2(0)3。因此，当3时， xy 取最大值 2。例 2、已知(1,7),(5,1),(2,1),OAOBOPuuuruuuruuur点 Q 为射线 OP上的一个动点， 当 QA QBuuur uuurg取最小值时，求.OQuuur分析：因为点Q 在射线 OP 上，向量 OQuuur与 OPuuur同向，故可以得到关于OQuuur坐标的一个关系式，再根据QA QBuuur uuurg取最小值求.OQuuur解：设(2 , ),(0)OQxOPx xxuuuruuur，则(12 ,7),(52 ,1)QAxx QBxxuuuruuur图 1 22(1 2 )(52 )(7)(1)520125(2)8QA QBxxxxxxxuuur uuurg当2x时， QA QBuuur uuurg取最小值 -8，此时(4, 2).OQuuur二、利用向量的数量积nmnm求最值例 3、ABC 三边长为 a、b、c ，以 A 为圆心 ,r 为半径作圆 ,PQ 为直径，试判断P、Q在什么位置时，BP CQuuur uuurg有最大值。分析：用已知向量表示未知向量，然后用数量积的性质求解。解：,ABBPAP ACCQAQAPuuuruuuruuur uuuruuuruuuruuurQ222()()()BP CQAPABAPACrAB ACAP ABACrAB ACAP CBAB ACAP CBruuur uuuruuuruuuruuuruuurguuur uuuruuur uuuruuurguuur uuuruuur uuurgguuur uuuruuur uuurg当且仅当 APuuur与 CBuuur同向时， BP CQuuur uuurg有最大值。三、利用向量模的性质abababrrrrrr求解例 4：已知2,(cos ,sin),abbrrr求 ar的最大值与最小值。分析 ：注意到()aabbrrrr，考虑用向量模的性质求解。解：由条件知1br。设 abcrrr，则 ar=bcrr，cbcbcbrrrrrrQ，13ar。所以当 br与 cr同向时，ar取最大值 3；当 br与 cr反向时， ar取最小值 1。四、利用几何意义，数形结合求解例 5、如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中...