36. 判别分析 （一）基本原理 判别分析，是用以判别个体所属类的一种统计方法。其原理是根据已掌握的一批分类明确的样品，建立一个较好的判别函数，使得用该判别函数进行判别时错判事例最少，进而能用此判别函数对给定的一个新样品判别它来自哪个总体。 判别分析方法通常要给出一个判别指标（判别函数），同时还要指定一种判别规则。 一、距离判别法 未知总体的样品x 离哪个总体的距离最近，就判断它属于哪个总体。 1. 对于两个正态总体G1, G2 距离选用马氏（Mahalanobis）距离： d2(x, G1) = (x-μ1)T∑ 1-1(x-μ1) d2(x, G2) = (x-μ2)T∑ 2-1(x-μ2) 其中，μ1, μ2, ∑ 1, ∑ 2 分别为总体G1, G22 的均值和协差矩阵。令 W(x) = d2(x, G1) - d2(x, G2) 称为判别函数，若∑ 1=∑ 2 时，W(x)是线性函数，此时称为线性判别；若∑ 1≠∑ 2，W(x)是二次函数。 2. 多总体情况 设有m 个总体：G1, …, Gm，其均值、协差阵分别为μi, ∑ i. 对给定的样品x，按距离最近的准则对x 进行判别归类： 首先计算样品x 到m 个总体的马氏距离di2(x), 然后进行比较，把x 判归距离最小的那个总体，即若dh2(x) = min{ di2(x) | i = 1,…,m}，则x∈Gh. 二、Fisher 线性函数判别法 为了方便使用，需要寻找尽量简单的判别函数，其中在 Fisher准则下的线性判别函数就是只利用总体的一、二阶矩就可求得的判别函数。 图 1 Fisher 线性判别分析示意图 下面以两个总体为例来说明 Fisher 判别的思想。 设有两个总体G1、G2，其均值分别为1 和2，协方差阵分别1和2，并假定1 = 2 = ，考虑线性组合：y = LTx。通过寻求合适的L向量，使得来自两个总体的数据间的距离较大，而来自同一个总体数据间的差异较小。为此，可以证明，当选L=c–1(1–2)，其中c 0时，所得的投影即满足要求。从而称c = 1 时的线性函数： y = LTx = (1 – 2)T–1x 为Fisher 线性判别函数。其判别规则为： 其中，m 为两个总体均值在投影方向上的中点，即 三、贝叶斯判别法 设 m 个总体G1, … , Gm，其分布密度分别为f1(x), … , fm(x)，各自的先验概率（可以根据经验事先给出或估出）分别为q1, … , qm，显然 当抽取了一个未知总体的样品 x，要判断它属于哪个总体，可用著名的贝叶斯公式计算 x 属于第 j 个总体的后验概率： 若 则判断 x 属于第 h ...
