费马点最值 问题( 总6 页) --本 页 仅 作 为文 档 封 面 ， 使 用 时 请 直 接 删 除 即 可 -- --内 页 可 以 根 据 需 求 调 整 合 适 字 体 及 大 小 -- 2 费 马 点 破 解 策 略 费 马 点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离． 若三角形的内角均小于 120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于 120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点． 1.若三角形有一个内角大于等于 120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点 如图在△ABC 中，∠BAC≥120°，求证：点 A 为△ABC 的费马点 证明： 如图，在△ABC 内有一点 P 延长 BA 至 C，使得 AC＝AC，作∠CAP＝ ∠CAP，并且使得 AP＝AP，连结 PP 则△APC≌△APC，PC＝PC 因为∠BAC≥120° 所以∠PAP＝∠CAC≤60 所以在等腰△PAP 中，AP≥PP 3 所 以 PA＋ PB＋ PC≥PP＋ PB＋ PC＞ BC＝ AB＋ AC 所 以 点 A 为 △ ABC 的 费 马 点 2.若 三 角 形 的 内 角 均 小 于 120°， 则 以 三 角 形 的 任 意 两 边 向 外 作 等 边 三 角形 ， 两 个 等 边 三 角 形 外 接 圆 在 三 角 形 内 的 交 点 即 为 该 三 角 形 的 费 马 点 ． 如 图 ， 在 △ ABC 中 三 个 内 角 均 小 于 120°， 分 别 以 AB、 AC 为 边 向 外 作 等 边 三 角形 ， 两 个 等 边 三 角 形 的 外 接 圆 在 △ ABC 内 的 交 点 为 O， 求 证 ： 点 O 为 △ ABC 的费 马 点 证 明 ： 在 △ ABC 内 部 任 意 取 一 点 O， ； 连 接 OA、 OB、 OC 将 △ AOC绕 着 点 A 逆 时 针 旋 转 60°， 得 到 △ AO′D 连 接 OO′则 O′D＝ OC 所 以 △ AOO′为 等 边 三 角 形 ， OO′＝ AO 4 所以 OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D 则当点 B、O、O′、D 四点共线时，OA＋OB＋OC 最小 此时 ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC 内的交点即为点 O 如图，在△ABC 中，若∠BAC、∠ABC、∠ACB 均小于 120°，O 为费马点，则有∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，所以三角形的费马点也叫三角 形 的 等 角 中心 例 1 如图...
