费马点的问题 定义:数学上称，到三角形3 个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的: 1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点； 2。 如果3 个内角均小于120°，则在三角形内部对3 边张角均为120°的点，是三角形的费马点. 3. 费马点与3 个顶点连成的线段是沟通3 点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的.我们称这一结果为最短路线原理。 性质：费马点有如下主要性质: 1． 费马点到三角形三个顶点距离之和最小。 2． 费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。 3． 费马点为三角形中能量最低点。 4． 三力平衡时三力夹角皆为120°,所以费马点是三力平衡的点. 例1：已知：△ABH 是等边三角形. 求证：GA+GB+GH 最小 证明： △ABH 是等边三角形.G 是其重心. ∴ ∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。 以HB 为边向右上方作等边三角形△DBH。 以HG 为边向右上方作等边三角形△GHP. AH=BH=AB=12. ∴ ∠AGH=120°, ∠HGP=60°。 ∴ A、G、P 三点一线. 再连PD 两点. △ABH、△GHP 和△BDH 都是等边三角形，∠GHB=30°. ∴ ∠PHD=30°，。 在△HGB 和△HPD 中 HG=HP ∠GHB=∠PHD； HB=HD； ∴ △HGB≌△HPD； （SAS） ∴ ∠HPD=∠HGB=120°; ∠HPG=60°。 ∴ G、P、D 三点一线. ∴ AG=GP=PD,且同在一条直线上。 GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD。 ∴ G 点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。也就是重心. 例2:已知：△ABC 是等腰三角形，G 是三角形内一点.∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°. 求证：GA+GB+GC 最小 证明：将△BGC 逆时针旋转60°，连GP，DB。则 △HGB≌△HPD； ∴ ∠CPD=∠CGB=120°，CG=CP，GB=PD， BC=DC，∠GCB=∠PCD。 ∠GCP=60°， ∴ ∠BCD=60°， ∴ △GCP 和△BCD 都是等边三角形。 ∠AGC=120°， ∠CGP=60°. ∴ A、G、P 三点一线。 ∠CPD=120°, ∠CPG=60°. ∴ G、P、D 三点一线。 ∴ AG、GP、PD 三条线段同在一条直线上. GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD。 ∴ G 点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点. 但它不同于等边三角形的费马点是重心。 例3：已知：△ABC 是锐角三角形,G 是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。 求证:GA+GB+GC 最小 证明:将△BGC 逆时针旋转60°,连GP,DB。则 △CGB≌△CPD; ∴ ∠CPD=∠CGB=120°,CG=C...
