函数的奇偶性与周期性知识点和经典试题 本节知识点详解： 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x )的定义域内任意一个x ，都有 f(－x )＝f(x ) ，那么函数f(x )是偶函数 关于 y 轴 对称 奇函数 如果对于函数f(x )的定义域内任意一个x ，都有 f(－x )＝－f(x ) ，那么函数f(x )是奇函数 关于 原点 对称 2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的 最小 正周期． 重要结论： 1.函数奇偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有 f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|)． (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (4)奇函数的图像在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反。 (5)运算性质 ①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶； ②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶； ③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇． 2．函数周期性的三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值 x： (1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a； (2)若 f(x＋a)＝ 1fx，则 T＝2a； (3)若 f(x＋a)＝－1fx，则 T＝2a.(a>0) 3．函数对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即 f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称； (2)若对于 R 上的任意 x 都有f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a＋x)，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称； (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即 f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称． 经典选题 一、判断题： 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数 y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( ) (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( ) (3)如果函数 f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则 F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( ) (4)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 对称...
