第十章重积分的应用VIP专享VIP免费

第九章(二) 重积分的应用 重积分的应用十分广泛。尤其是在几何和物理两方面。几何方面的应用有利用二重积分求平面图形的面积；求曲面面积；利用三重积分求立体体积。物理方面的应用有求质量；求重心；求转动惯量；求引力等。在研究生入学考试中，该内容是《高等数学一》和《高等数学二》的考试内容。 通过这一章节的学习，我们认为应达到如下要求： 1、掌握重积分的几何和物理意义，并能应用于实际计算。 2、对于重积分的应用领域和常见应用问题有全面的了解，并能利用重积分解决应用问题。 3、具备空间想象能力，娴熟的重积分计算技巧和将理论转化为应用的能力。 一、知识网络图 求引力求转动慣量求重心求质量物理应用求曲面面积求立体体积求平面图形面积几何应用重积分的应用 二、典型错误分析 例1 ． 求如下平面区域 D 的面积，其中D 由直线xyx ,2及曲线1xy所围成。 如图： y 1xy （2，2） )21,2( O 1 2 x [错解]89)2(2212221dyydxdydSyD [分析]平面图形的面积可以利用二重积分来计算，这一点并没有错。问题在于区域 D，若先按 x积分，再按 y积分，则应注意到区域 D 因此划分为两个部分，在这两个部分，x、y的积分限并不相同，因此此题若先积x, 后积y，则应分两部分分别积分，再相加。 [正确解] 2ln2322112121yyDdxdydxdydS 例2 ..设平面薄片所占的闭区域D 是由螺线2上一段弧)20( 与直线2 所围成，它的面密度为22),(yxyx，求该薄片的质量。 [错解] 24023420320220drdrrddMD [分析] 平面物体的质量是以面密度函数为被积函数的二重积分，因此解法的第一步是正确的。注意到积分区域的边界有圆弧，而被积函数为22),(yxyx，因此积分的计算采用极坐标系算，这一点也是正确的。问题在于在直角坐标转化为极坐标时，dxdy 应由rdrd来代替，解题过程中缺少了一项 r 。导致计算结果错误。因此 r 务必不能遗漏。 [正确解] 40024520420220drrdrrddMD 例3 . 计算以 xoy 面上的圆周122 yx围成的区域为底，而以曲面22yxz为顶的曲顶柱体的体积。 [错解] 222201111yxyyDdzdxdydVV [分析]如按此思路求解，即使接下去采用极坐标变换法，计算量仍...