第四章共轭空间黎永锦VIP专享VIP免费

91 第4 章 共轭空间 纯数学使我们能够发现概念和联系这些概念的规律, 这些概念和规律给了我们理解自然现象的钥匙. A. Einstein (爱因斯坦) (1879-1955,美国物理学家) BanachS.在1929 年引进了Banach 空间的共轭空间这一概念,这个思想HahnH.在1927 年也引进过,但BanachS.的工作更完全些,共轭空间就是已知赋范的空间X 上的全体线性连续泛函所组成的线性空间*X ,它在范数|)(|sup||||1||||xffx 下是 Banach 空间.对于具体的赋范线性空间,弄清这些赋范空间上的线性连续泛函的一般形式是非常有用的.另外,赋范空间X 的性质与它的共轭空间*X 的性质有着密切的联系,因此可以通过共轭空间*X 的性质来研究赋范空间X 的性质. 4 .1 共轭空间 由BanachHahn 定理可知,对赋范线性空间X ,若}{X,则}{*X,另外,对于任意赋范空间X , X 的共轭空间*X 一定是完备的. 定理 4 .1 .1 *)(nRf 当且仅当有nnR),,(1,使得inii xxf1)(,对任意nnRxx),,(1 成立. 且此时有2112)||(||||niif. 证明 若存在nnR),,(1,使得 inii xxf1)( , 对任意 niRxx)(成立. 则 f 是nR 上的线性泛函,且 92 ||||)||()||()||(|||||||)(|21122112211211xxxxxfniiniiniiiniiinii 因此f 是nR 上的线性连续泛函,即*)(nRf . 反之,若f 为nR 上的线性连续泛函,则对niRe)0,,0,1,0,,0(,有 niiiniiiiniixefxexfxf111)()()( 这里)(iief,niR)(. 设0f,inii xxf1)(,对任意niRx)(成立,由 ||||)||(|)(|2112xxfnii  可知 2112)||(||||niif 取2112)||(niiiix,可知niRxx)(,且1||||x. 因此 2112211212)||()||(/)(||||niiniiniixff 所以 2112)||(||||niif 由上面定理可以看出*)(nR与nR 是几乎一样,为了刻画这样的“一样”关系,下面引进保范同构的概念. 定义 4 .1 .1 设X 和Y 都是赋范空间,若T 是X 到Y 的线性算子,T 是双射,并且对于任意Xx,有||||||||xTx ,则称T 是X 到Y 的保范同构,亦称 X 与Y 是保范同构的. 93 明显地,若X 与Y 是保范同构的,则X 和Y 具有几乎一样的性质,因而可将与看成是一致的. 由上面定理的证明可以看出,若定义*)(nK到nK 的线性算子为),(),((21efefTf  ))(,n...