數學傳播32卷1期, pp. 25-47線性代數五講一一第四講 主理想整環上的模及其分解龔昇 · 張德健4 .1 . 環上的模的基本概念A . 在第二講及第三講中, 我們討論了向量空間及其上線性變換, 在這一講及下一講中將從模的觀點來重新認識之, 這是本書的主要部份, 在這一講中, 將介紹模的定義和基本性質, 尤其是在主理想整環上的模及其分解。若 V 體 F 上的一個 向量空間, T ∈ L(V)。 對F[x] 中任 一多 項式 p(x), 對 任 意 v ∈ V,可 定義p(x)v = p(T)(v),這就 是我們要討論作 用在 V 上的線性算子 。 顯然對 任 意 r(x), s(x) ∈ F[x], u, v ∈ V 有r(x) (u + v) = r(x) u + r(x)v,(r(x) + s(x)) u = r(x) u + s(x) u,(r(x) s(x)) u = r(x) (s(x) u),1 u = u,等等。 但 是 F[x] 不 是體而是環, 所以F[x] 中元 素對V 作 純量乘積, V 不 能成為一個 向量空間。 於是引入 了比向量空間更為一般的概念 : 模。定義4.1.1: 若 R 是有單 位 元 的交 換環, 其元 素稱為純量 (scalar)。 一個R−模 (R−module), 或 R 上的一個模 (a module over R) 是一個 非空集合M, 有運算加 法, 記作+,對(u,v) ∈ M × M, 有 u + v ∈ M; 另一個 是 R 與 M 的運算是純量乘積, 用毗連來表示,對(r,v) ∈ R × M, 有 r v ∈ M, 而且 有1. M 對 加 法而言是 Abel 群;2. 對 所有 r, s ∈ R, u, v ∈ M 有2526數學傳播32卷1期 民97年3月a. (分配律) : r (u + v) = r u + r v,(r + s) u = r u + sv;b. (結合律) : (r s) u = r (s u), c.1 u = u.顯然當 R 為體, 則模為向量空間, 即體上的模就是向量空間。當 R = Z (整數環), 則 Z−模就是 Abel 群, 故模也是 Abel 群的概念之擴充。特別 重要的是在 第一講開始 就 說到 的 R = F[x], 若 F 是體, 則由定 理1.2.1, F[x] 是主理想整環, 於是可 以 定 義 F[x]− 模, 這是我們 今 後要主 要討論的對 象。若 R 是環, 則所有 m × n 的矩陣的集合 Mm,n(R) 是一個R− 模, 其 加 法與數乘就 是矩陣的加 法與數乘。 當 R = F[x] 時, Mm,n(F[x]) 是矩陣元 素全 為多 項式的矩陣的全 體, ...
