1 从 k 到(k＋1)思路受阻分析及转化策略用数学归纳法证明不等式，特别是数列不等时，是一个行之有效的方法，也是中等数学中的一个基本方法，近些年高考试题中多次出现这类考题．运用这种方法证明不等式时，往往有好多学生在证k 到(k＋1)的过程中，卡了壳，断了思路，这是一种普遍现象．下面分析一下思路受阻几种原因及转化策略．一、从 k 到(k＋1)添项不足在从 k 到(k＋1)的证明过程中，如果分析不透命题结构，就会造成添项不足，证明夭折．例 1 已知 S n =1＋ 12＋ 13＋⋯＋ 1n(nN*) ，用数学归纳法证明2nS＞1＋2n(n≥2， nN*) ．思路受阻过程：(i)当 n = 2 时，22S=1＋ 12＋ 13＋ 14=1＋ 1312＞1＋ 22，命题成立．(ii) 设 n = k (k≥2)时不等式成立，即2kS=1＋ 12 ＋ 13 ＋⋯＋ 12k ＞1＋2k ，则当 n = k＋1 时，12kS=1＋ 12＋ 13＋⋯＋ 12k ＋112k＞1＋2k ＋112k，要证明12kS＞1＋12k，只须证 1＋2k ＋112k＞1＋12k，即证112k＞ 12．显然，当 k≥2 时这是不可能的，解题思路受到阻碍．受阻原因分析：由于 S n =1＋ 12＋ 13＋⋯＋ 1n，所以12kS=1＋ 12＋ 13＋⋯＋ 12k ＋121k＋122k＋⋯＋1121k＋112k，即12kS=2kS＋2111212222kkkkk项＞1＋2k ＋1112111222kkkk项=1＋2k ＋122kk．这就是说，由 k 到(k＋1)时，增加了 2k 项，而不仅仅是 1 项(112k)．如果把这个结构搞错了，证题思路也就中断了．这就是前面思路受阻的根本原因．2 二、不会借用已证结论在从 k 到(k＋1)的证明过程中，如果仅仅利用已知条件，有时还是没有证题思路，但若借用已证结论，就会“柳暗花明又一村” ．例 2 设数列 {x n }是由 x 1= 2，x1n=2nx＋nx1(nN )定义的数列，证明不等式：2 ＜x n ＜2＋n1 ．思路受阻过程：由于 x k ＞2 ，且2kx ≠kx1 ，则1kx=2kx+kx1 ＞122kkxx=2 ．下面证明： x n ＜2 ＋n1 ．(i)当 n = 1 时，x 1= 2＜2 ＋1，不等式成立．(ii) 设 n = k (k≥1)时不等式成立，即x k ＜2 ＋ 1k，那么，当 n = k＋1 时，1kx=2kx＋kx1 ，由归纳假设， x k ＜2 ＋ 1k，则2kx ＜22＋ 12k，⑴kx1 ＞112k，⑵因为⑴、⑵不是同向不等式，所以又递推式无法完成由k 到(k＋1)的证明，到此好象“山重水复疑无路”，证题思路受到阻碍．受阻原因分析：要利用递推式1kx=2kx+kx1 ，只有找出关系式kx1 ＜A，才有可能推导下去．因此，只有寻...
