第三章微分中值定理与导数的应用答案§3.1 微分中值定理1． 填空题（１）函数xxfarctan)(在]1,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ 是4．（２）设)5)(3)(2)(1()(xxxxxf，则0)(xf有3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．2． 选择题（１）罗尔定理中的三个条件:)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，且)()(bfaf，是)( xf在),(ba 内至少存在一点，使0)(f成立的（B ）．A． 必要条件B．充分条件C． 充要条件D．既非充分也非必要条件（２）下列函数在]1,1[上满足罗尔定理条件的是（C ）．A. xexf)(B.||)(xxfC.21)(xxfD.0,00,1sin)(xxxxxf（３）若)(xf在),(ba 内可导，且21xx 、 是),(ba 内任意两点，则至少存在一点，使下式成立（ B ）．A．),()()()()(2112bafxxxfxfB．)()()()(2121fxxxfxf在12,x x 之间C．211221)()()()(xxfxxxfxfD．211212)()()()(xxfxxxfxf3．证明恒等式：)(2cotarctanxxarcx．证明： 令xarcxxfcotarctan)(，则01111)(22xxxf，所以)(xf为一常数．设cxf)(，又因为(1)2f，故)(2cotarctanxxarcx．4．若函数)( xf在),(ba 内具有二阶导数，且)()()(321xfxfxf，其中12axx3xb，证明 :在),(31 xx内至少有一点，使得0)(f．证明：由于)(xf在],[21 xx上连续 ,在),(21 xx可导 ,且)()(21xfxf，根据罗尔定理知，存在),(211xx， 使0)(1f． 同理存在),(322xx，使0)(2f． 又)(xf在],[21上符合罗尔定理的条件，故有),(31 xx，使得0)(f．5． 证明方程062132xxx有且仅有一个实根．证明：设621)(32xxxxf，则031)2(,01)0(ff，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(， 使得0)(f．另一方面，假设有),(,21 xx，且21xx，使0)()(21xfxf，根据罗尔定理，存在),(21 xx使0)(f，即02112，这与02112矛盾．故方程062132xxx只有一个实根．6． 设函数)(xf的导函数)(xf在],[ba 上连续， 且0)(,0)(,0)(bfcfaf，其中 c是介于ba, 之间的一个实数． 证明：存在),(ba, 使0)(f成立 . 证明：由于)(xf在],[ba内可导，从而)( xf在闭区间],[ba 内连续，在开区间( , )a b 内可导．又因为( )0,( )0f af c，根据零点存在定理，必存在点1( , )a c ，使得0)(1f． 同理，存在点2( , )c b ，使得0)(2f．因此( )f x 在21,上满足罗尔定理的条件，故存在),(ba ， 使0)(f成立．7. 设函数)(xf在]1,0[上连续 , 在)1,0(内可导 . 试证 : 至少存在一点(0,1), 使( )2 [(1)(0)].fff证明：只需令2)(xxg，利用柯西中...
