等腰三角形直角三角形存在性问题 典例1，如图,二次函数的图象与x 轴交于点A、B 两点,且 A点坐标为,与y 轴交于点 . (1)求出这个二次函数的解析式; (2)直接写出点B 的坐标为 (3)在x 轴是否存在一点P,使是等腰三角形?若存在,求出满足条件的P 点坐标;若不存在,请说明理由 ; (4) 在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q,使得四边形ABQC 的面积最大?若存在,请求出 Q 点坐标及面积的最大值;若不存在,请说明理由. 答案详解 解:(1)的图象经过,, ,, 所求解析式为:, 答:这个二次函数的解析式是. (2)解:, 故答案为:. (3)解:在 中, ,,, ,①当时在x 轴的负半轴),; ②当时在x 轴的正半轴),; ③当 时在x 轴的正半轴),; ④当时在x 轴的正半轴), 在 中,设,则 解得:, ; 答:在x 轴存在一点 P,使是等腰三角形 ,满足条件的P 点坐标是或或或. (4) 解:如图,设Q 点坐标为,因为点 Q 在上, 即:Q 点坐标为, 连接 OQ, , , , , Q 点坐标为, 答:在第一象限中的抛物线上存在一点Q,使得四边形ABQC 的面积最大,Q 点坐标是,面积的最大值是. 解析: (1)因为的图象经过 ,,代入求出c、a 的值,即可得到答案; (2)把代入求出x 的值,即可得到答案; (3)在中根据勾股定理求出AC,根据等腰三角形的性质求出,①当时在 x 轴的负半轴),;②当时在 x 轴的正半轴),;③当时在 x 轴的正半轴),;④当时在 x轴的正半轴),,即可得出答案; (4)设 Q 点坐标为,因为点 Q 在上,得出Q 点坐标为,连接OQ,根据,代入求出即可. 本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式,等腰三角形的判定,三角形的面积,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的最值等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键.题型较好,综合性强. 练习： 如 图, 已 知 抛 物 线与 x 轴 交 于 点和 点,与 y 轴交于点 C. (1)求抛物线的解析式; (2)设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M,问在对称轴上是否存在点P,使为等腰三角形 ?若存在 ,请求出符合条件的点P 的坐标 ;若不存在 ,请说明理由 . 答案详解 解:(1)由题知: 解得: 所求抛物线解析式为:; (2)抛物线解析式为:, 其对称轴为, 设 P 点坐标为,当时,, , ①当时,,解得, 点坐标为:; ②当时,,解得, 点坐标为:或; ③当时,由勾股定理得:,解得, 点坐标为: 综上所述存在符合条件的点P,其坐标为或或 或; 解析: (1)已知抛物线过A、B 两点,可将两点的坐标代...
