MSDC 模块化分级讲义体系 五年级奥数.数论. 完全平方数的性质和应用(A 级).学生版 Page 1 o f 8 数字不重复的平方数 观察只含两位数字的完全平方数: 16=42 25=52 36=62 49=72 64=82 81=92 其中每个平方数都是两位数字互不相同。 含有三位数字的完全平方数,情况就不一样了。例如: 100=102 121=112 144=122 这些平方数都已包含重复数字。不过,也有许多三位平方数的各位数字互不相同,例如: 169=132 196=142 256=162 62=5252 含有四位数的完全平方数,包含重复数字的现象更为普遍。1444=382 不含重复数字的四位平方数也很多,例如 1024=322 2401=492 1369=372 1936=442 如果一个平方数有九位数字,每位数字各不相同,并且不含数字0,那么在这个数中,从 1 到 9 全都出现,全只出现一次。 其中最小的是:139854276=118262,最大的是:923187456=303842 完全平方数常用性质 1.性质 性质 1:完全平方数的末位数字只可能是0,1,4,5,6,9.不可能是2,3,7,8。 性质2:在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 性质3:自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇数.因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次. 性质4:若质数p整除完全平方数,则p能被整除。 2aa课 前 预 习 知 识 框 架 完全平方数的性质和应用 MSDC 模块化分级讲义体系 五年级奥数.数论. 完全平方数的性质和应用(A 级).学生版 Page 2 o f 8 2.一些重要的推论 (1)任何偶数的平方一定能被4 整除;任何奇数的平方被4(或8)除余1.即被4 除余2 或3 的数一定不是完全平方数。 (2)一个完全平方数被3 除的余数是0 或1.即被3 除余2 的数一定不是完全平方数。 (3)自然数的平方末两位只有:00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,16,36,56,76,96。 (4)完全平方数个位数字是奇数(1,5,9)时,其十位上的数字必为偶数。 (5)完全平方数个位数字是偶数(0,4)时,其十位上的数字必为偶数。 (6)完全平方数的个位数字为 6 时,其十位数字必为奇数。 (7)凡个位数字是5 但末两位数字不是25 的自然数不是完全平方数;末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数;个位数字为 1,4,9 而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 (8)完全平方数被3,4,5,8,16除的余数一定是完全平方数. ...