第 六 节抛 物 线 重点难点 重点：抛物线定义、几何性质及标准方程 难点：抛物线几何性质及定义的应用 知识归纳 1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l (F∉l)的距离 的点的轨迹叫做抛物线． 相等 2．抛物线的标准方程和几何性质(如下表所示) 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R 准线方程 x＝－p2 焦点 Fp2，0 对称性 关于 x 轴对称 顶点 O(0,0) 离心率 e＝1 性质 焦半径 |MF|＝x0＋p2 |MF|＝ x＝p2 F－p2，0 p2－x0 标准方程 x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 y≥0，x∈R y≤0，x∈R 准线方程 y＝－p2 焦点 F0，p2 对称性 关于 y 轴对称 顶点 O(0,0) 离心率 e＝1 性质 焦半径 |MF|＝p2＋y0 |MF|＝ y＝p2 F0，－p2 p2－y0 误区警示 1．关于抛物线定义 要注意点 F 不在直线 l 上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线. 2．关于抛物线的标准方程 由于选取坐标系时，坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的共同点在于： (1)p 的几何意义：焦参数 p 是焦点到准线的距离，所以 p 恒为正数． (2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向. (3)焦点的非零坐标是一次项系数的14. 解题技巧 1．由于抛物线的标准方程有四种不同形式，故求抛物线标准方程时，一定要注意区分焦点在哪个轴上加以讨论．抓准抛物线的开口方向及 p 的几何意义是准确迅速求解的关键． 2．抛物线的焦点弦 涉及抛物线的焦半径或焦点弦的问题，常考虑应用定义求解． (1)若抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点弦为 AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有如下结论： ①|AB|＝x1＋x2＋p； ②y1y2＝－p2； ③x1x2＝p24 . (2)直线 l 过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 Fp2，0 时，常设 l：x＝my＋p2以简化运算． 3．关于抛物线的最值问题 (1)A 为抛物线弧内一定点，F 为焦点，P 为抛物线上任一点，求|PA|＋|PF|的最小值问题常用定义转化，由 A向抛物线的准线作垂线与抛物线的交点为取到最小值的P 点． (2)直线 l 与抛物线无公共点，求抛物线上的点到 l的最小值问题，一般可设出抛物线上的点，用点到直线距离公式转化为二次函数求最值，或设出与 l 平行且与抛物线相切的直线，...
