三角形中作辅助线的常用方法举例 一、延长已知边构造三角形： 例如：如图7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC 于A ，BC⊥BD 于B， 求证：AD＝BC 分析：欲证 AD＝BC，先证分别含有AD，BC 的三角形全等，有几种方案：△ADC 与△BCD，△AOD 与△BOC，△ABD 与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。 证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E 点， AD⊥AC BC⊥BD （已知） ∴∠CAE＝∠DBE ＝90° （垂直的定义） 在△DBE 与△CAE 中 )()()(已知已证公共角ACBDCAEDBEEE ∴△DBE≌△CAE （AAS） ∴ED＝EC EB＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED－EA＝EC－EB 即：AD＝BC。 （当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。） 二 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图9-1：在 Rt△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD 的延长于E 。求证：BD＝2CE 分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时CE 与∠ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长BA，CE 交于点F。 BE⊥CF （已知） ∴∠BEF＝∠BEC＝90° （垂直的定义） 在△BEF 与△BEC 中， 19 图DCBAEF12ABCDE17 图O )()()(21已证公共边已知BECBEFBEBE ∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE= 21CF （全等三角形对应边相等） ∠BAC=90° BE⊥CF （已知） ∴∠BAC＝∠CAF＝90° ∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90° ∴∠BDA＝∠BFC 在△ABD 与△ACF 中 )()()(已知＝已证已证ACABBFCBDACAFBAC ∴△ABD≌△ACF （AAS）∴BD＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD＝2CE 四、取线段中点构造全等三有形。 例如：如图 11-1：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。 分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取 AD 的中点 N，连接 NB，NC，再由SAS 公理有△ABN≌△DCN，故 BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取 BC 的中点 M，连接MN，则由SSS 公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。 证明：取 AD，BC 的中点 N、M，连接 NB，NM，NC。则 AN=DN，BM=CM，在△ABN 和△DCN中 )()()(已知已知辅助线的作法DC...
