1 “最值问题” 集锦 ●平面几何中的最值问题………………… 01 ●几何的定值与最值……………………… 07 ●最短路线问题…………………………… 14 ●对称问题………………………………… 18 ●巧作“对称点”妙解最值题…………… 22 ●数学最值题的常用解法………………… 26 ●求最值问题……………………………… 29 ●有理数的一题多解……………………… 34 ●4 道经典题……………………………… 37 ●平面几何中的最值问题 在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例． 在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 最值问题的解决方法通常有两种： （1） 应用几何性质： ① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ② 两点间线段最短； ③ 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④ 定圆中的所有弦中，直径最长。 ⑵运用代数证法： ① 运用配方法求二次三项式的最值； ② 运用一元二次方程根的判别式。 例 1、A、B 两点在直线 l 的同侧，在直线 L 上取一点 P，使 PA+PB 最小。 2 分析：在直线L 上任取一点P’，连结A P’，BP’， 在△ABP’中AP’+BP’＞AB，如果AP’+BP’＝AB,则P’必在线段AB 上，而线段AB与直线L 无交点，所以这种思路错误。 取点A 关于直线L 的对称点A’，则AP’＝ AP， 在△A’BP 中A’P’+B’P’＞A’B,当P’移到A’B 与直线L 的交点处P 点时A’P’+B’P’＝A’B，所以这时PA+PB 最小。 1 已知AB 是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC 是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC 的周长最大(图3－91)？ 分析 本例是求半圆AB 的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC 的半周长u=x+y+R 的最大值即可． 解 作DE⊥AB 于E，则 x2=BD2=AB·BE＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry， 所以 所以求u 的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可． -x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2， 上式只有当x=R 时取等号，这时有 所以 2y=R=x． 所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C...
