复变函数基本定义VIP免费

定义 邻域－定义1 .1 点的邻域指： 聚点、内点、孤立点－定义1 .2 给定点集，及点。称为的聚点或极限点指：的任一邻域内都有的无穷多个点。 若，但非的聚点，则称为的孤立点; 若，又非的聚点，则称为的外点。若有一邻域全含于内，则称为的内点。若的任一邻域内，同时有属于和不属于的点，则称为的边界点。边界点的全体称为的边界。记作。 开集、闭集－定义1 .3 若点集的每个聚点都属于，则称为闭集；若点集的点皆为内点，则称为开集。 有界性－定义1 .4 点集称为有界集，若使有。 区域－定义1 .5 非空开集称为区域，若是连通的，即：中任意两点可用全在中的折线连接。 闭域－定义1 .6 区域加上它的边界称为闭域，记为：。 约当曲线－定义1 .7 设是实变数 的两个实函数，在闭区间上连续，则由方程 所决定的点集，称为复平面上的一条连续曲线。上式称为的参数方程分别称为的起点和终点 。 单连通区域－定义1 .8 设为复平面上的区域，若在内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于，则称为单连通区域；非单连通区域称为多连通区域。 复变函数－定义 1 .9 设为一复数集，若对内每一复数，有唯一确定的复数与之对应，则称在上确定了一个单值函数。 若对内每一复数，有几个或无穷多个与之对应，则称在上确定了一个多值函数。 复变函数的极限－定义 1 .1 0 设，为的聚点。若存在一复数，使， ， 只要，就有 则称沿于有极限，并记为。 连续函数－定义 1 .1 1 设子点集上有定义，为的聚点，且。若 即对任给的， ，只要，，就有 则称沿于连续。 复球面 复平面加上点后称为扩充复平面，与它对应的就是整个球面，称为复球面。 无穷远点 考虑平面上一个以原点为心的圆周，在球面上对应的也是一个圆周。当圆周的半径越大时，圆周就越趋北极。北极可以看成是与平面上的一个模为无穷大的假想点相对应，这个假想点称为无穷远点，并记为。 主要定理 约当定理－定理 1 .1 任一简单闭曲线将平面唯一地划分成三个点集且满足 （1 ）彼此不交 （2 ）是一个有界区域（称为的内部） （3 ）是一个无界区域（称为的外部） （4 ）若简单折线的两个端点分属，则必与有交点。 极限的计算定理－定理 1 .2 设函数于点集上有定义，，则 的充要条件是 连续函数定理－定理 1 .3 设函数于点集上有定义， ，则沿在点连续的充要条件是：二元实变函数， 沿于点连续。 一致连续定理－定理 1 .4 设函数在...