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数学建模—大气污染预报问题VIP免费

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西南交通大学峨眉校区2011 年 全国大学生数学建模竞赛第一次预选赛 2011 年4 月25 日 一、(必做题) (1)油罐的体积(本题 10 分) 一平放的椭圆柱体形状的油罐,长度为 L,椭圆的长半轴为 a,短半轴为 b,油的密 1 度为ρ,问当油罐中油的高度为h 时油量是多少? 解:由题意可话画出画出几何图形如图 1 所示 图 1 .1 椭圆方程为tbytaxsincos如图 2,设阴影部分面积为S/2,则油桶的底面积为S。 图 2 下面将会利用mathematics 5.0软件进行求解,求解的程序如下:Integrate[2*a*b*Cos[t]^2,{t,ArcSin[1-h/b],Pi/2}] 解得结果为: ))1arccos()()2((2bhbhbbhhbaS 当bh 时,由椭圆对称性,A 中的 h 用hb 2代替得到: ))1arccos()()2((2bhbhbbhhbaabS 所以油液质量 M 为: b X Y a b-h 2a L 2b h 2 ))1arccos()()2(())1arccos()()2((22bhbhbbhhbaLabLMbhbhbhbbhhbaLMbhSLM,则若,则若 (2)光的反射定律(本题 10 分) 费马原理:光总是沿用时最短的光程传播。试根据这一原理利用极值的有关知识证明光的反射定律:入射角等于反射角。 解:由于光在同一介质中的速度为常数,所以在同一介质中光总是沿直线传播。 如图3,现假设有两种介质1、2 相接,光线在介质1 中的传播速度为v,取两介质的分界线上的一条直线为X 轴,设有一束光线从介质1 中的),0(aA点经 X 轴上的)0,(xP点反射,并沿直线方向行进到),(bdB点。设直线AP 与 X 轴法线的夹角为1 ,PB 直线与X 轴法线的夹角为2 ,下面,根据最短时间效应来推导出光学中的反射定理。 P 图三 光线由A 点传到 P 点所需的时间为: vxavAPt221 光线由P 点传到 B 点所需的时间为: vxdbvPBt222)(  故光线由A 传到 B 所需的总时间为: Y X 0 A 2 P B(d,b) 1 3 vxdbxattt222221)( 根据费马定理,最短时间效应对应的优化问题为: vxdbxat2222)(min ]),0[(dx  令 0])([12222xdbxdxaxvdxdt 于是可以得到: 2222)(xdbxdxax 又由于 122sin xax,222sin)(xdbxd 所以有: 21sinsin  这就是光学中的反射定理。 证毕 4 大气污染预报问题 摘要 本文通过对四个城市的空气质量的排名以及城市A的空气...

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