数学建模—大气污染预报问题VIP免费

西南交通大学峨眉校区2011 年 全国大学生数学建模竞赛第一次预选赛 2011 年4 月25 日 一、（必做题） （1）油罐的体积（本题 10 分） 一平放的椭圆柱体形状的油罐，长度为 L，椭圆的长半轴为 a，短半轴为 b，油的密 1 度为ρ，问当油罐中油的高度为h 时油量是多少？ 解：由题意可话画出画出几何图形如图 1 所示 图 1 .1 椭圆方程为tbytaxsincos如图 2，设阴影部分面积为S/2，则油桶的底面积为S。 图 2 下面将会利用mathematics 5.0软件进行求解,求解的程序如下：Integrate[2*a*b*Cos[t]^2,{t,ArcSin[1-h/b],Pi/2}] 解得结果为： ))1arccos()()2((2bhbhbbhhbaS 当bh 时，由椭圆对称性，A 中的 h 用hb 2代替得到： ))1arccos()()2((2bhbhbbhhbaabS 所以油液质量 M 为： b X Y a b-h 2a L 2b h 2 ))1arccos()()2(())1arccos()()2((22bhbhbbhhbaLabLMbhbhbhbbhhbaLMbhSLM，则若，则若 （2）光的反射定律（本题 10 分） 费马原理：光总是沿用时最短的光程传播。试根据这一原理利用极值的有关知识证明光的反射定律：入射角等于反射角。 解：由于光在同一介质中的速度为常数，所以在同一介质中光总是沿直线传播。 如图3，现假设有两种介质1、2 相接，光线在介质1 中的传播速度为v,取两介质的分界线上的一条直线为X 轴，设有一束光线从介质1 中的),0(aA点经 X 轴上的)0,(xP点反射，并沿直线方向行进到),(bdB点。设直线AP 与 X 轴法线的夹角为1 ，PB 直线与X 轴法线的夹角为2 ，下面，根据最短时间效应来推导出光学中的反射定理。 P 图三 光线由A 点传到 P 点所需的时间为: vxavAPt221 光线由P 点传到 B 点所需的时间为: vxdbvPBt222)(  故光线由A 传到 B 所需的总时间为： Y X 0 A 2 P B（d,b） 1 3 vxdbxattt222221)( 根据费马定理，最短时间效应对应的优化问题为： vxdbxat2222)(min ]),0[(dx  令 0])([12222xdbxdxaxvdxdt 于是可以得到： 2222)(xdbxdxax 又由于 122sin xax，222sin)(xdbxd 所以有： 21sinsin  这就是光学中的反射定理。 证毕 4 大气污染预报问题 摘要 本文通过对四个城市的空气质量的排名以及城市A的空气...