[习题1.4] 对长方形椅子在地面上可放稳的证明 问题背景 问题来自于书本1.3 案例一，椅子由正方形一般化为矩形。 建模准备 1. 椅子旋转方式：椅子四脚构成矩形ABCD，以垂直于平面ABCD，且经过对角线 AC，BD 交点 O 的直线为旋转轴；且旋转仅在平面ABCD 上进行； 2. ( ), ( )fg 意义同前；模型假设与 1.3 案例一相同。 模型建立与求解 ( )f 与 ( )g 均为连续函数。且由于任何时刻均有三脚着地，即( )f 与 ( )g 至少有一个为零，故( )( )0fg•恒成立。不失一般性，假设在初始时刻 AC 着地，即(0)0f。因此，对角线 BD 只要沿旋转轴旋转AOB即可保证BD 着地，不失一般性，可假设此时旋转角为2，(0)2（如图1），此时 ()02g ，()02f 。因此证明归结为证明以下数学命题： 已知( ), ( )fg 为连续函数，对任意(0, )，有( )( )0fg•；且(0)0f， (0)0g，()02g ，()02f ，(0,)2 ，0,s.t.00()()0fg. 证明：构造函数( )( )( )Ffg，易知( )F 连续 而(0)(0)(0)0Ffg 且()()()0222Ffg 由连续函数介值性定理，0(0,)2，0. . ()0s t F 且00000()()0()()()0fgFfg•00()()0fg 进一步研究 还有一种简便证明如下：按照上述旋转规则，椅子四脚在一个圆周上运动（如图二），假设椅子的D 脚一直不着地，则 ABC 三脚运动至 D 脚位置也会不着地，这与假设三矛盾，因此在圆周上必有一位置使得椅子四脚同时着地。 （图一，图二均在背面） [习题1.5] 人猫鸡米渡河问题研究 问题重述 人带着猫、鸡、米过河，从左岸到右岸，船除了需要人划之外，只能载猫、鸡、米三者之一，人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。试设计一个安全过河方案，使渡河次数尽量地少。 符号说明 1X ：代表人的状态，人在该左岸或船上取值为 1，否则为 0； 2X ：代表猫的状态，猫在该左岸或船上取值为 1，否则为 0； 3X ：代表鸡的状态，鸡在该左岸或船上取值为 1，否则为 0； 4X ：代表米的状态，米在该左岸或船上取值为 1，否则为 0； 1234(,,,)KSXXXX：状态向量，代表时刻 K 左岸的状态； 1234(,,,)KDXXXX：决策向量，代表时刻 K 船上的状态； 模型的建立 状态向量集合412341...
