数值分析试验报告——Hilbert矩阵的求解VIP专享VIP免费

1 / 7 数值分析课程实验报告题目：病态线性方程组的求解理论分析表明，数值求解病态线性方程组很困难。考虑求解如下的线性方程组的求解Hx = b，期中 H 是 Hilbert 矩阵，()ijn nHh，11ijhij， i，j = 1,2 ，⋯，n 1.估计矩阵的2 条件数和阶数的关系2.对不同的 n，取(1,1,,1)nx，分别用Gauss 消去， Jacobi 迭代， Gauss-seidel 迭代， SOR 迭代和共轭梯度法求解，比较结果。3.结合计算结果，试讨论病态线性方程组的求解。解答过程1.估计矩阵的 2-条件数和阶数的关系矩阵的 2-条件数定义为：1222()Cond AAA，将 Hilbert 矩阵带入有：1222()Cond HHH调用自编的Hilbert_Cond 函数对其进行计算，取阶数n = 50，可得从 1 阶到 50 阶的 2-条件数，以五位有效数字输出，其中前10 项见表 1。表 1.前十阶 Hilbert 矩阵的 2-条件数阶数1 2 3 4 5 2-条件数1 19.281 524.06 1.5514e+004 4.7661e+005 阶数6 7 8 9 10 2-条件数1.4951e+007 4.7537e+008 1.5258e+010 4.9315e+011 1.6025e+013 从表 1 可以看出，随着阶数每递增1，Hilbert 矩阵的 2-条件数都至少增加一个数量级，但难以观察出明显的相依规律。故考虑将这些数据点绘制在以n 为横轴、 Cond（ H） 2 为纵轴的对数坐标系中（编程用Hilbert_Cond 函数同时完成了这个功能），生成结果如图1。2 / 7 图 1.不同阶数下Hilbert 矩阵的 2-条件数分布由图可见，当维数较小时，在y-对数坐标系中Cond（H）2 与 n 有良好的线性关系；但n 超过 10 后，线性趋势开始波动，n 超过 14 后更是几乎一直趋于平稳。事实上，从n = 12开始，系统便已经开始提出警告：“Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate.”。也就是说，当n 较大时， H 矩阵已经接近奇异，计算结果可能是不准确的。通过查阅相关资料，我找到了造成这种现象的原因：在 matlab 中，用 inv 函数求条件数过大的矩阵的逆矩阵将是不可靠的。而调用系统自带的专门对Hilbert 矩阵求逆的 invhilb（n）函数则不存在这个问题，生成结果如图2。3 / 7 图 2. 修正后的不同阶数下Hilbert 矩阵的 2-条件数分布简便起见，取n 不大于 10 的前十项进行线性拟合，结果如图3。0123456789101111010010001000010000010000001E71E81E91E101E111E121E13 Cond(H) Linear Fit of Sheet1 Cond(H)Cond(H)nEq...