数值分析报告讲义——线性方程组解法VIP免费

1 / 46 数值分析讲义第三章线性方程组的解法§3.0 引言§3.1 雅可比 (Jacobi)迭代法§3.2 高斯 -塞德尔 (Gauss-Seidel)迭代法§3.3 超松驰迭代法§3.7 三角分解法§3.4 迭代法的收敛性§3.8 追赶法§3.5 高斯消去法§3.9 其它应用§3.6 高斯主元素消去法§3.10 误差分析§3 作业讲评 3 §3.11 总结2 / 46 §3.0 引 言重要性：解线性代数方程组的有效方法在计算数学和科学计算中具有特殊的地位和作用 .如弹性力学、电路分析、热传导和振动、以及社会科学及定量分析商业经济中的各种问题. 分类：线性方程组的解法可分为直接法和迭代法两种方法. (a) 直接法：对于给定的方程组，在没有舍入误差的假设下，能在预定的运算次数内求得精确解 .最基本的直接法是Gauss消去法，重要的直接法全都受到 Gauss消去法的启发 .计算代价高 . (b) 迭代法：基于一定的递推格式，产生逼近方程组精确解的近似序列.收敛性是其为迭代法的前提，此外，存在收敛速度与误差估计问题.简单实用,诱人 . 3 / 46 §3.1 雅可比 Jacobi 迭代法(AX=b) 1 基本思想 : 与解 f(x)=0 的不动点迭代相类似 ,将 AX=b 改写为 X=BX+f 的形式 ,建立雅可比方法的迭代格式： Xk+1=BX(k)+f ,其中，B 称为迭代矩阵 .其计算精度可控,特别适用于求解系数为大型稀疏矩阵(sparse matrices)的方程组 . 2 问题: (a) 如何建立迭代格式？(b) 向量序列 {Xk}是否收敛以及收敛条件 ?3 例题分析 :考虑解方程组2.453.82102.7210321321321xxxxxxxxx(1) 其准确解为 X*={1, 1.2, 1.3}. 建立与式 (1)相等价的形式：84.02.01.083.02.01.072.02.01.0213312321xxxxxxxxx(2) 据此建立迭代公式：84.02.01.083.02.01.072.02.01.0)(2)(1)1(3)(3)(1)1(23)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx(3) 取迭代初值0)0(3)0(2)0(1xxx,迭代结果如下表 . JocabiMethodP31.cpp 4 / 46 迭代次数 x1 x2 x3 0 0 0 0 1 0.72 0.83 0.84 2 0.971 1.07 1.15 3 1.057 1.1571 1.2482 4 1.08535 1.18534 1.28282 5 1.095098 1.195099 1.294138 6 1.098338 1.198337 1.298039 7 1.099442 1.199442 1.299335 8 1.099811 1.199811 1.299777 9 1.099936 1.199936 1.299924 10 1.099979 1.199979 1.299975 11 1.099993 1.199993 1.299991 12 1.099998 1.199998 1.299997 13 1.099999 1.199999 1.299999 14 1.1...