1 / 6 §５无穷小量与无穷大量教学目的 ：理解无穷小（大）量及其阶的概念。会利用它们求某些函数的极限。教学要求 ：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。引言在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：lim0nna. 我们称之为无穷小数列。通过前面几节对函数极限的学习。我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形。例如：0limsin0,xx20lim0,xx我们给这类函数一个名称——“无穷小量”。既然有“无穷小量” ，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量”有哪些性质呢？以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量。一、无穷小量1．定义１ ：设 f 在某00()Ux内有定义。若0lim( )0xx f x，则称 f 为当0xx 时的无穷小量。记作：0( )0(1)()f xxx. （类似地可以定义当00,,,,xxxxxxx时的无穷小量） 。例 ：(1,2,),sin ,1coskxkxx 都是当0x时的无穷小量；1x 是当1x时的无穷小量；21sin,xxx是 x时的无穷小量。2．无穷小量的性质（１）先引进以下概念定义２ （有界量 ）若函数 g 在某00()Ux内有界，则称g 为当0xx 时的有界量，记作：0( )(1)()g xOxx. 例如： sin x 是当 x时的有界量，即sin(1)()xOx; 1sinx是当0x时的有界量，即1sin(1)(0)Oxx. 注：任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若0( )0(1)()f xxx，则0( )(1)()f xOxx. 区别 ：“有界量 ”与“ 有界函数 ”。一般在谈到函数f 是有界函数或函数f 是有界的，意味着存在Ｍ>０，f 在定义域内每一点x ，都有 |( )|f xM 。这里“有界”与点无关：而有界是与“点有关”，是在某点的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界。（２）性质性质１两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量。性质２无穷小量与有界是的乘积为无穷小量。2 / 6 性质３0lim( )( )xx f xAf xA 是当0xx 时的无穷小量0lim(( ))0xxf xA. 例如；201limsin0xxx，2300lim()0,limsin0xxxxxx. 问题 ：两个（相同类型的）无穷小量之商是否仍为无穷小量？考虑：22222200000sin2lim0,lim?,lim1,lim1,lim2xxxxxxxxxxxxxxx. 引申 ：同为无穷小量，20lim0xxx，而20limxxx不存在？这说明“无穷小量”是有“级别”的。这个“级别”表现在收敛于０ （或趋近于０） 的速度有快不慢。就上述例子而言，这个“级别” 的标志...
