09 级数模试题1
把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次， 就可以使四只脚同时着地，放稳了
试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象
（15 分）解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的
因此对这个问题我们假设：（1）地面为连续曲面（2）长方形桌的四条腿长度相同（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地
那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面
现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的
以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在 A、B、C、D处，A、B,C、D的初始位置在与 x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线 ab, 则 ab 也与 A、B，C、D平行
当方桌绕中心0 旋转时，对角线 ab 与 x 轴的夹角记为
矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖
容易看出， 当四条腿尚未全部着地时， 腿到地面的距离是不确定的
为消除这一不确定性，令( )f为 A、B离地距离之和，( )g为C、D离地距离之和，它们的值由唯一确定
由假设（ 1），( )f,( )g均为的连续函数
又由假设（3），三条腿总能同时着地，故( )f( )g=0 必成立（）
不妨设(0)0f,(0)0gg（若(0)g也为 0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转） ，于是问题归结为：聞創沟燴鐺險爱氇谴净
已知( )f,( )g均为的连续函数，(0)0f,(0)0g且对任意有00() ()0fg，求证存在某一0 ，使00()()0fg
证明：当θ=π 时， AB 与 CD 互换位置，故( )0f，( )0g
作( )()( )hfg，显然，( )h也是的连续函数，(0)(0)(0)0hfg而()()( )0hfg，由连续函数的取零值定理，存在0，00，使 得0()0
