精心整理微积分基本公式教学章节： 定积分——§ 5.2 微积分基本公式教学目标： 掌握微积分基本公式 . 教学要求：（1）学会用变限积分的方法构造所需函数；（3）能运用变限积分性质解决问题；（3）深刻体会牛顿 - 莱布尼兹公式。教学重点： 变限积分，牛顿 - 莱布尼兹公式 . 教学过程：引言定积分( )dba f xx的计算，当目前为止我们只能由定义计算极限在知( )f x可积情况下按某一方式划分和选取后计算1()niiifx ，再求极限。 通常1()niiifx 很难计算，即使在等分区间和选取边界点情况下亦是如此。例在直线运动的速度为( ),v tC a b 运动的路程为( )s t ，注意到( )( )s tv t 亦即( )s t 是 ( )v t 的一个 原函数。由定积分的定义可知( ) dba v tt 表示直线运动在,a b 时间段的位移，故亦即 “该定积分等于被积函数的一个原函数在积分区间上的增量”。这具有普遍性，从而许多定积分的计算就可以转化为不定积分的计算，而避免了计算恼人的注：这体现了数学的研究方法：观察- 猜想- 证明 - 应用。一．变限积分（一）变（上）限定积分一般地，若函数( )f x 在,a b 上可积 , 则可定义,a b 上的一个函数称它为 变上限的定积分 ，或变上限函数 。可积函数用定积分的方法------变（上）限的定积分法 可以构造函数 ：且例1(1)dxttF x，则( )F x 是以1yt为曲边，以 1, x 为底边的曲边梯形的“面积”。显然（ 1）( )F x 在 1,有定义，且（ 2）当 01x时( )0;F x当1x时( )0;F x当1x时( )0F x。精心整理（ 3）( )F x 在 1,严格增，故有反函数。事实上用 变下限 的定积分法也可定义,a b 上的一个函数更一般的若,xx 在 [ ,]c d 连续，且值域在,a b 内，则用 变上下限 的定积分法也可定义 [ ,]c d 函数注：函数是微积分的研究对象，如何已知函数构造新函数是一个重要的问题，之前我们有初等方法——四则运算及符合的方法、极限的方法——求导， 今又有用积分变限的方法事实上也是极限的方法来构造函数。 这是一个极为重要数学思想方法，而且按此方法函数获得了几何意义，体现分析与几何相互渗透。（二）变限函数性质我们研究函数((d))xaFf ttx性质定理 1 若函数( )f x在,a b 上连续 , 则变上限函数((d))xaFf ttx在,a b 可导，且它的导函数证明 取x 使得[,]xbxa，则有00( )limlim(( ))xxfxffxx，其中介于 x 与 xx 与之间。由...
