[马到成功奥数网学员学习材料]拉灯问题作者：马到成功老师标题是个别字， 因为在上数字专题课上讲到拉灯的一类问题，学生大笑， 都当成“本·拉登”了，课堂气氛十分活跃，在笑声中掌握了一类题型与解题方法。现举几个例子加以说明，与计数、数论、构造与论证有关。题目 1.2000 年小学数学奥林匹克初赛试题B 卷有 2000 盏亮着的电灯， 各有一个拉线开关控制着，现按其顺序号编号为1，2，3，⋯，2000，然后将编号为2 的倍数的灯线拉一下，再将编号为3 的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完之后，亮着的灯有盏。分析与解：先考虑什么样的灯的亮着的，分两类，一类是动都没动过的，一类是动过两次的。画三个集合圈的韦恩图来表示。也就是我们最终要求框内圈外部分的数据是一动不动的。D，E，F 三小部分是动过两次的。你可以把图中每一小块填出来，再相加，也可以用下面的方法做。如 右 图 所 示 ， 拉 了3次 的 灯 ( 即 能 同 时 被2,3 ， 5整 除 的 数 ) 有G=。盏)(66]5322000[题目 2.六（2）班同学 47 名，一天上体育课时，排成一列横队，都面向老师，然后按1，2，3，4，⋯⋯ 46，47 报数，老师要求学生按照如下的步骤进行操作：先让报数是3 的倍数的同学向后转；再让报数是5 的倍数的同学向后转。经过这两步骤以后，还有多少名同学面向老师与上题形式一样换个说法，是一个关于两个元素的集合问题。把面向老师理解为灯亮着，背向理解为灯灭了。试试看是多少，极为典型，小升初必备知识。答案： 29 名。47÷ 3=15⋯⋯ 2 47÷ 5=9⋯⋯ 2，47÷（ 3×5）=3⋯⋯ 2 两次向后转的共15+9=24（人次），其中有3 人两次都向后转了，所以面向老师的同学还有47- （24-3 × 2）=29 名。 . 题目 3.在 1997*1997 的正方形棋盘上的每一格都装有一盏灯和一个按钮。按钮每按一次，与它同一行和同一列的灯泡改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮。如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮题目分析： 每按一次按钮，同行、同列的灯泡都改变一次状态，对角线上的灯泡都是既不同行、也不同列的，所以，对角线上有多少个，最少就必须要有多少次。这样，剩下的关键是对角线上的个数次能否实现。题中1997*1997 的正方形棋盘对角线上有1997 个灯泡， 1997是奇数，可以实现。解答： 一方面， 原来每盏灯都是不亮的，要使得灯全部变亮，...
