数学物理方法总结归纳改VIP免费

数学物理方法总结第一章复变函数复数的 代数式 :z=x+iy 复数的 三角式 和指数式 :(cossin)z和ize欧拉公式 :{1sin()21cos()2izizizizzeeizee柯西 -黎曼方程 (或称为柯西 -黎曼条件 ):{uuxyvvxy(其中 f(z)=u+iv) 函数 f(z)=u+iv 在点0z 及其领域上处处可导,则称 f(z)在0z 点解析 .在区域 B 上每一点都解析 ,则称 f(z)是在区域 B 上的解析函数 . 解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv在区域B 上解析 ,则12( , ), ( , )u x yC v x yC(12,C C 为常数 )是 B 上的两组正交曲线族. 2.若函数在区域B 上解析 ,则 u,v 均为 B 上的调和函数 ,即22220uvxy例题 : 已知某解析函数f(z)的实部22( , )u x yxy ,求虚部和这个解析函数. 解答 : 由于22ux=2;22vy=-2; 则22220uvxy曲线积分法ux=2x; uy=-2y.根据 C-R 条件有 :vx=2y; vy=2x. 于是22dvydxxdy ; ( ,0)( ,)(0,0)( ,0)( , )( ,)( ,0)(22)(22)(22)22xx yxx yx yxvydxxdyCydxxdyydxxdyCxdyCxyC凑全微分显式法由上式可知22dvydxxdy则易得(2)dvdxy则显然2vxyC不定积分法上面已有vx=2y;vy=2x 则第一式对y 积分 ,x 视为参数 ,有2( )2( )vxyxxyx . 上式对 x 求导有2'( )vyxx,而由 C-R 条件可知'( )0x, 从而( )xC .故 v=2xy+C. 222( )(2)f zxyixyCziC第二章复变函数的积分单连通区域柯西定理如果函数f(z)在闭单连通区域B 上解析 ,则沿 B 上任意一分段光滑闭合闭合曲线l(也可以是 B 的边界 ),有( )0l f z dz?. 复连通区域柯西定理如果 f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数,则1( )( )0inllif z dzf z dz蜒.式中 l 为区域外边界线,诸il 为区域内边界线 ,积分均沿边界线的正方向进行.即1( )( )inllif z dzf z dzii. 柯西公式1( )( )2lf zfdziz?n 次求导后的柯西公式( )1!( )( )2()nnlnffzdiz?第三章幂级数展开幂级数200102000()()()......()......kkkkkazzaa zzazzazz其中0a ,1a ,2a ,3a ,⋯⋯都是复常数. 比值判别法 (达朗贝尔判别法) 1.若有110100limlim1kkkkkkkkazzazzaazz则2010200............kkaazzazzazz收敛 , 200102000()()()......()......kkkkkazzaa zzazzazz绝对收敛 . 若极限1lim/kkkaa存在 ,则可引入记号R,1limkkkaRa,于是 ,若0zzR,则200102000()()()......()......kkkkkazzaa zzazzazz绝对收敛 . 2.若0zzR,则后项与前项的模之比的极限11010lim...