第51课时“隐圆”问题一、专题解读1.近年来全国各省市中考试题，圆的考查形式往往有两种：一种是题干中给出圆，以圆为背景命制试题；另一种是题设中没有圆，但在解题过程中，需要构造圆，利用圆的相关知识来解决问题.我们称第二种为“隐圆”问题；2.广州市2018年第25题、2019年第24题，均考到“隐圆”问题；3.本专题可安排两个课时.二、“隐圆”问题类型类型一：四点共圆型初中阶段常见的四点共圆模型有：1.根据定义：到定点距离等于定长的点共圆（如图1）；2.共斜边的两个直角三角形的顶点共圆（如图2）；3.对角互补的四边形顶点共圆（如图3）；4.同一线段同侧所对角相等，角的顶点与线段两个端点共圆（如图4）.图1图2图3图4典例解析1.（2014天河区二模）如图5，坐标原点O在线段AC上，点D，E在AC同侧，，，AD=OC=3，CE=6.点P为线段AO上的动点，连接DP，作，交直线OE与点Q；90DACECAoODOEDPPQCOQEPDAxy图5（1）求D、E的坐标；D(-6，3)，E(3，6)（2）当点P与，O两点不重合时，求的值；DPPQA连结DQ OD⊥OE，DP⊥PQ，∴∠DPQ=∠DBQ=90°，∴点D、P、O、Q都在以DQ为直径的圆上，∴∠DQP=∠DOA， tan∠DQP=tan∠DOA,∴中考演练（一）1.（2020沈阳市第25题第1问）如图6，射线AB和射线CB相交于点B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE，当点D在线段CB上，α＝90°时，请直接写出∠AEB的度数=；EDBCA图645°易证A、B、E、C四点共圆，△ABC是等腰直角三角形，则∠ACB＝45°，∴∠AEB＝∠ACB=45°.2.（2020番禺一模）如图7，长为定值的弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），点E是CD的中点，过点C作CF⊥AB于F，若CD=3，AB=8，则EF的最大值是（）.OBFEADC图7A.B.C.D.924836B3.（2020四川甘孜州第27题第2问）如图7，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在线段AB上，连接BE．试判断BE与AB的位置关系，并说明理由.图7由旋转的性质可知，∠DBC＝∠CED，∴D、C，E，B四点共圆， ∠DCE＝90°，∴∠DBE＝90°，∴BE⊥AB．4.（2020临沂第26题第3问）如图8，菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60°，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD、CE分别于点F、G.线段AE、EF的中点分别为M、N.当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？GNFEBDCMA图8如图1，分别连接MG、AC、FM，则MG∥AC，∠GME=∠CAB=∠ABC=60°；易证FC=FA=FE则NG=FN=EN=MN，∴点F、M、E、G在以N为圆心，EF为直径的圆上，∴∠CEF=∠FMG=90°-∠GME=30°，即∠CEF的大小无变化.GNFEBDCMA图1类型二：路径（轨迹）为圆（弧）型典例解析2.点A与点B的坐标分别是（1，0）、（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点，且满足∠APB=30°.（1）画出点P的路径图；以AB为边，在第一象限内作等边△ABC，以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1、P2.优弧AP1B即为点P的路径.（2）当点P在y轴正半轴时，求点P的坐标.中考演练（二）5.（2020山东泰安第12题）如图10，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC1﹦，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）MxyOBCA图10B6.（2019武汉）如图11，AB是⊙O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，C、E两点的运动路径长的比是（）BNODMAC图11A类型三：定角对定弦型典例解析3.（2020广西北部湾第18题）如图12，在边长为的菱形ABCD中，∠C＝60°，点E，F分别是AB，AD上的动点，且AE＝DF，DE与BF交于点P．当点E从点A运动到点B时，点P的运动路径长为．23图12如图3，点E，F在AB，AD上运动的过程中，DE、BF相交所成的∠BPD始终保持不变，为120°，连结BD，易知BD＝，此时B，C，D，P四点共圆，点P的运动的路径的长即为.图3中考演练（三）7.如图13，线段BC的两个端点分别在x轴与直线上滑动（均不与原点O重合），且BC=2，分别作BP⊥x轴，CP⊥OC，交点为P，设点P坐标为（m，n），则=.3yx22mnPxyO...
