线性代数讲义VIP免费

1 线性代数讲义 第一讲 基本概念 1．线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为: a11x1+a12x2+„+a1nxn=b1, a21x1+a22x2+„+a2nxn=b2, „ „ „ „ am1x1+am2x2+„+amnxn=bm, 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个 n维向量(k1,k2, „,kn)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数xi都用 ki替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b1=b2=„=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组. n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成 0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. 2.矩阵和向量 (1)基本概念 矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展. 由 mn个数排列成的一个 m行 n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个 mn型矩阵.例如 2 -1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 5 4 -2 9 3 3 3 -1 8 是一个 45矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵 a11 a12 „ a1n a11 a12 „ a1n b1 A= a21 a22 „ a2n 和(A|)= a21 a22 „ a2n b2 „ „ „ „ „ „ „ am1 am2 „ amn am1 am2 „ amn bm 为其系数矩阵和增广矩阵. 增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息. 一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素. 元素全为 0的矩阵称为零矩阵,通常就记作 0. 两个矩阵 A和 B相等(记作 A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等. 2 由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量. 书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2, ,an的向量可表示成 a1 (a1,a2, ,an)或 a2 , ┆ an 请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1n矩阵,右边是n1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.) 一个mn的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m维向量, 称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为1...