统计量的概念VIP专享VIP免费

4 .统计量的概念 样本是总体的代表和反映，也是统计推断的依据．为了对总体的分布或数字特征进行各种统计推断，还需要对样本作加工处理，把样本中应关心的事物和信息集中起来，针对不同的问题构造出样本的不同函数，这种样本的函数我们称其为统计量． 统计量的定义.由样本（X1, X2,…, Xn）所确定的函数f(X1, X2,…, Xn)称为统计量． 若(x1, x2,…, xn)是一个样本观测值，则称f(x1, x2,…, xn)是统计量f(X1, X2,…, Xn)的一个观测值． 显然，统计量不仅是一个随机变量，而且还不含有未知参数． 例3 .6 .4 设(X1，X2，X3)是由服从正态分布Ｎ(μ,σ2)的总体X 中抽取的一个容量为3的样本，其中μ、σ 是未知参数，因此(X1+X2+X3)/3-μ， (X1+X2+X3)/σ 都不是统计量，而X1+X2+5， X12+X22都是统计量． 设（X1, X2,…, Xn）是总体X 中的一个样本，下面是数理统计中常用的几个统计量及其观测值： (1 )样本均值. ; 它的观测值为：. (2 )样本方差.; 它的观测值为 . (3 )样本标准差. ; 它的观测值为 . 例3 .6 .5 为了了解某一课程自学考试的情况, 现从全体考生中抽查120名学生，记录其成绩如下： 74 55 46 64 74 77 76 69 68 66 54 72 69 68 50 72 62 63 90 74 54 73 89 68 88 72 87 74 86 75 50 82 67 62 88 44 73 72 58 92 69 67 84 94 57 74 74 83 90 69 51 62 64 62 72 58 56 76 76 83 75 65 83 56 72 98 74 84 68 83 79 85 64 74 59 59 73 72 54 69 78 68 82 84 77 80 79 78 78 79 77 82 84 82 84 82 66 76 81 86 94 79 74 54 72 68 63 45 60 79 93 79 42 55 68 70 64 73 73 54 试按下列要求进行简单的统计分析. (1)在区间[40,100]之间，将数据分成组距为5分的12组，在此条件下，求频数分布、频率分布、累计频率分布； (2)求样本均值与样本方差； (3)作图:修正后的频率直方图、累计频率直方图． 解. (1)根据已知数据，把频数分布、频率分布、累计频率分布列成表如下（(除了最后一组外，每组不包括上限)． 分组编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 组 限 40- 45 45- 50 50-55-660-65-770-75-880-85-90 90-95-100 55 0 65 0 75 0 85 95 组频数 (fi) 2 2 8 9 1 1 1 7 23 1 8 16 7 6 1 组频率(%) 1 .6 7 1 .67 6 .67 7 .5 0 9 .17 1 4.17 19 .16 1 5.00 13 .33 5 .83 5 .00 0 .8 3 累计频率(%) 1 .6 7 3 .34 10 .01 1 7.51 26 .68 4 0.85 60 .01 7 5.01 88 .34 9 4 .1 7 99 .17 1 0 0 (2 )样本均值和样本方差的观测值分别是 , (3 )根据取值区间及相应频率作修正后的频率直方图和累计频率直方图. 有了统计量的概念以后，下面我们再介绍几个在应用中有重要作用的常用的分布． 实验题：学习者可以随机抽取某科考试成绩进行如下统计推断. (1) 先把数据分组,在此条件下,求频数分布、频率分布、累计频率分布; (2) 求样本均值与样本方差; (3) 画出频率直方图和累计频率直方图.