轴对称与辅助线VIP免费

轴对称与辅助线 下面尝试从轴对称的角度来探索几何证明中辅助线的作法。 例 1. 如图 1，在中，AB＝AC，D点在 BA的延长线上，E在 AC上，且 AD＝AE，DE交 BC于 F，求证： 分析：欲证 ，由 AB＝AC联想到等腰三角形的三线合一定理，可作AH平分，则，然后再证DF//AH。 证明：过 A作AH平分，交 BC于 H 小结：本题作三角形顶角的平分线，实质上就是构造了两个关于角平分线所在直线对称的三角形。 例 2. 如图 2，在中，，AD是的角平分线，求证： 分析：要证，则需把AC分成两条线段，然后分别证它们与AB、BD相等。可在 AC上截取，再证 证明：在 AC上截取，连结 DE AD是的角平分线 又 小结：本题在角平分线的两侧构造了成轴对称的两个三角形。题中所用方法通常称之为截长法，本题也可在 AB延长线截取构造与对称的三角形，我们通常把这种方法称之为补短法。与角平分线有关问题的常用辅助线是在角的边上截长或补短，构造成轴对称的两个三角形。 例 3. 如图 3，在中，，AD是 BC边上的高线，求证： 分析：本题与上题结论类似，换成在DC上截 证 证明：在DC上截，连AE AD是BC边上的高线 又 小结：本题实质上是将高线左边的三角形沿高线翻折到高线的另一边，也是构造成轴对称来解题，与高线有关的问题常借助上述方法来作辅助线。 例4. 如图4，在中，，，BD是的角平分线，，交BD的延长线于H，求证： 分析：由 ，BD是的角平分线可以看到与对称的左下的三角形呼之欲出，只要将CH、BA延长即可构造出关于BH或轴对称的另两个三角形。 证明：延长CH、BA交于点 F ，BD是的角平分线 小结：此题还是从轴对称图形的考虑出发作出辅助线的。 例5. 如图5，在中，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且，求证： 分析；要证，可能要用三边关系定理，而这三条线段较散，必须把它们集中起来。 由，可利用对称性把沿 FD翻折到右边形成即可。 证明：延长 ED至 DM，使，连 FM、CM 显然， D是BC的中点 显然， 在 中， 小结：利用对称把条件相对集中是作辅助线的常见思路。 例6. 如图6，是等边三角形，A、E分别在BD、BC的延长线上，且，求证： 分析：可尝试构造一个与对称的三角形来解题。 证明：延长 CE到 F，使 是等边三角形 是等边三角形