１ 解答题 1． [2014·安徽卷19] 如图1-5 所示，四棱锥P - ABCD 的底面是边长为8 的正方形，四条侧棱长均为2 17.点G，E，F，H 分别是棱PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH. 图1-5 (1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH 的面积． 解： (1)证明：因为BC∥平面GEFH， BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH， 所以GH∥BC. 同理可证EF∥BC，因此GH∥EF. 2．[2014·重庆卷20] 如图1-4 所示四棱锥PABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝π3 ，M 为BC 上一点，且BM＝12. (1)证明：BC⊥平面POM；(2)若MP⊥AP，求四棱锥P-ABMO 的体积． 图1-4 解：(1)证明：如图所示，因为四边形ABCD 为菱形，O 为菱形的中心，连接OB，则AO⊥OB.因为 ∠BAD＝π3 ，所以OB＝AB·sin∠OAB＝2sinπ6 ＝1. 又因为BM＝12，且∠OBM＝π3 ，在△OBM 中，OM2＝OB2＋BM2－2OB·BM·cos∠OBM＝12＋ 122－2×1×12 ×cosπ3 ＝34，所以OB2＝OM2＋BM2，故 OM⊥BM. 又PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BC.从而 BC 与平面POM 内的两条相交直线 OM，PO 都垂直，所以BC⊥ 平面POM. ２ 3．[2014·陕西卷17] 四面体ABCD 及其三视图如图1-4 所示，平行于棱AD，BC 的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA 于点E，F，G，H. 图1-4 (1)求四面体ABCD 的体积；(2)证明：四边形EFGH 是矩形． 解：(1)由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1， ∴AD⊥平面BDC，∴四面体ABCD 的体积V＝13×12×2×2×1＝23. 4．[2014·湖南卷18] 如图1-3 所示，已知二面角α-MN-β 的大小为60°，菱形ABCD 在面β 内，A，B 两点在棱MN 上，∠BAD＝60°，E 是AB 的中点，DO⊥面α，垂足为O. 图1-3 (1)证明：AB⊥平面ODE；(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值． 解：(1)证明：如图，因为DO⊥α，AB⊂α，所以DO⊥AB. 连接BD，由题设知，△ABD 是正三角形，又E 是AB 的中点，所以DE⊥AB.而DO∩DE＝D，故AB⊥平面ODE. 5．[2014·北京卷17] 如图1-5，在三棱柱ABC A1B1C1 中，侧 棱垂直于底 面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F 分别是A1C1，BC 的中点． ３ 图1-5 (1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E ABC 的 体 积 ． 解：(1)证明 ：在 三棱柱 ABC - A1B1C1 中 ， BB1⊥底 面A...
