2015 年考研数学二真题 一、选择题：（1~8 小题,每小题4 分，共32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫1√ᵆ+∞2ᵅᵆ (B)∫ᵅᵅᵆᵆ+∞2ᵅᵆ (C)∫1ᵆᵅᵅᵆ+∞2ᵅᵆ (D) ∫ᵆᵅᵆ+∞2ᵅᵆ 【答案】D。 【解析】题干中给出4 个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。 ∫1√ᵆ+∞2ᵅᵆ = 2√ᵆ|2+∞= +∞； ∫ᵅᵅᵆᵆ+∞2ᵅᵆ = ∫ᵅᵅᵆ+∞2ᵅ(ᵅᵅᵆ)= 12 (ᵅᵅᵆ)2|2+∞= +∞； ∫1ᵆᵅᵅᵆ+∞2ᵅᵆ = ∫1ᵅᵅᵆ+∞2ᵅ(ᵅᵅᵆ)= ln (ᵅᵅᵆ)|2+∞= +∞； ∫ᵆᵅᵆ+∞2ᵅᵆ = − ∫ᵆ+∞2ᵅᵅ−ᵆ = −ᵆᵅ−ᵆ|2+∞+∫ᵅ−ᵆ+∞2ᵅᵆ = 2ᵅ−2 − ᵅ−ᵆ|2+∞= 3ᵅ−2， 因此(D)是收敛的。 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数ᵅ(ᵆ) = limᵆ→0(1 +ᵆᵅᵅ ᵆᵆ )ᵆ2ᵆ 在(-∞,+∞)内 (A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B 【解析】这是“1∞”型极限，直接有ᵅ(ᵆ) = limᵆ→0(1 +ᵆᵅᵅ ᵆᵆ )ᵆ2ᵆ = ᵅlimᵆ→0ᵆ2ᵆ (1+ᵆᵅᵅ ᵆᵆ −1)= e ᵆlimᵆ→0ᵆᵅᵅᵆᵆ = ᵅᵆ(ᵆ≠ 0), ᵅ(ᵆ)在ᵆ = 0处无定义， 且limᵆ→0ᵅ(ᵆ) = limᵆ→0ᵅᵆ = 1,所以 ᵆ = 0是ᵅ(ᵆ)的可去间断点，选B。 综上所述，本题正确答案是B。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数ᵅ(ᵆ) = {ᵆα cos 1ᵆβ , ᵆ > 0，0, ᵆ ≤ 0(α > 0,ᵯ > 0).若ᵅ′(ᵆ)在ᵆ =0 处连续，则 (A)α−β> 1 (B)0 < α−β≤ 1 (C)α−β> 2 (D)0 < ᵯ −β≤ 2 【答案】A 【解析】易求出 ᵅ′(ᵆ) = {ᵯᵆα−1cos 1ᵆβ +βᵆα−β−1sin 1ᵆβ , ᵆ > 0，0, ᵆ ≤ 0 再有 ᵅ+′(0) = limx→0+ᵅ(ᵆ)−ᵅ(0)ᵆ= limx→0+ᵆα−1cos 1ᵆβ ={0, α> 1,不存在，α ≤ 1， ᵅ−′(0) = 0 于是，ᵅ′(0)存在⟺α > 1，此时ᵅ′(0) = 0. 当α > 1 时，limx→0ᵆα−1cos 1ᵆβ = 0， limx→0βᵆα−β−1sin 1ᵆβ={0, α−β−1 > 0,不存在，α−β−1 ≤ 0， 因此，ᵅ′(ᵆ)在ᵆ = 0连续⟺α−β> 1。选A 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限 (4)设函...
