18 第 2 章 自动控制系统的数学模型辅导[ 学习目标 ] 熟练掌握：传递函数的概念和性质，典型环节的传递函数；掌握：利用系统动态结构图的等效变换来求取传递函数的方法；了解：建立动态系统微分方程的一般方法控制系统微分方程的建立一. 机械系统机械系统一般分为两大类，即直线运动系统和旋转运动系统，其基本组成器件是质量、弹簧和阻尼器等，支配机械系统的基本定律是牛顿运动定律和力、力矩平衡定律。如图 2-1 所示为一具有弹簧、阻尼器的机械平移系统。当外力作用于系统时，系统产生位移为xo。求该系统以xi (t) 为输入量， xo(t) 为输出量的运动微分方程式。解取 A、B 两点分别进行受力分析。得02B0AAAi1xk)xxf()xx(k由A1Ai1xk)xx(k解出012iAxkkxx代入 B 等式，得020012ixk)xxkkxf(得i1021021xfkxkkxkkf式中： k1——弹簧 1 的弹性系数；k2——弹簧 2 的弹性系数；图 2-1 机械平移系统19 f——阻尼器的阻尼系数。二. 电气系统电气系统的基本元件是电阻、电容、 电感以及电动机等，支配电气系统的基本定律是基尔霍夫电路定律。图 2-3 为一具有电阻－电感－电容的无源网络，求以电压u 为输入， uc 为输出的系统微分方程式。解 根据基尔霍夫电路定律，有CuRidtdiLtu )(而dtduCic ，则上式可写成如下形式)(22tuudtduRCdtudLCCcc上式表示了RLC 电路的输入量和输出量之间的关系。编写控制系统微分方程的一般步骤为：(l) 首先确定系统的输入量和输出量；(2) 将系统划分为若干个环节，确定每一环节的输入量和输出量。确定输入量和输出量时，应使前一环节的输出量是后一环节的输入量。(3) 写出每一环节(或元件 )描述输出信号和输入信号相互关系的运动方程式；找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联系的物理规律。而这些物理定律的数学表达式就是环节(或元件 )的原始方程式。在此同时再做一些数学上的处理，如非线性函数的线性化。考虑忽略一些次要因素。使方程简化的可能性和容许程度。(4) 消去中间变量， 列出各变量间的关系式。设法消去中间变量，最后得到只包含输入量和输出量的方程式。于是，就得到所要建立的元件或系统的数学模型了。非线性数学模型的线性化线性化问题的提出但实际上， 自然界中真正的线性系统是不存在的。即使对所谓的线性系统来说，也只是在一定的工作范围内才保持真正的线性关系。许多机电系统、 液压系统、气动系统等，在变量之间都包含着非线性关系。例如...
