线性代数冲刺笔记【例题 1】 B＝50030021a， A2－ 2AB ＝ E ， r( AB－2BA＋3A) ＝（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）与 a 有关【解 】 A( A－2B) ＝ E ∴ A 可逆，且 A－ 1 ＝ A－ 2B A (A－ 2B) ＝ ( A－2B) A (A A－ 1＝ A－ 1 A) AB ＝ BA 那么， AB－2BA＋3A ＝ 3A－ AB ＝ A(3 E－B) 又， A 可逆，知r( AB－ 2BA＋ 3A)＝ r(A(3 E－B))＝ r(3 E－B) a 有|3 E－ B| ＝0，又 3E－B 有二阶子式不得零，从而r(3 E－ B) ＝ 2. 【例题 2】 Am×n，η1， η 2，⋯， ηt 是 Ax ＝ 0 的基础解系， α 是 Ax ＝ b 的一个解 . (I) 证明 α ，α ＋η1， α ＋ η2，⋯， α ＋ η t 线性无关 . (II)证明 Ax ＝ b 的任意一个解都可以由α ，α ＋η1，α ＋η2，⋯， α ＋ η t 线性表出 . 【分析 】η1，η2，⋯， ηt 是 Ax＝0 的基础解系，那么η 1，η2，⋯， ηt 必定线性无关，从而证明α ，α ＋ η 1，α ＋η 2，⋯， α ＋η t 线性无关可以用定义法。【证 】(I)（用定义，重组，同乘）设 k0α ＋k 1 ( α ＋ η 1) ＋k2( α ＋η2) ＋⋯＋ k T( α ＋ηt) ＝0 (1) 即 （k0＋k1＋k 2＋⋯＋ k T）α ＋k1η 1＋k 2η 2＋⋯＋ k T ηt＝ 0(2) 由 Aα ＝b， Aηi ＝ 0（i ＝1，⋯， t ），用 A 左乘（ 2），有(k 0＋k1＋k2＋⋯＋ k t) Aα ＋ k 1Aη 1＋k2Aη2＋⋯＋ k tAηt＝ 0即 (k0 ＋ k 1＋k2 ＋⋯＋ kt )b＝ 0 又 b≠ 0，有 k0＋ k1＋ k2＋⋯＋ k T＝ 0 (3) 带入 (2) 有 k1η1＋ k2η2＋⋯＋ kt η t ＝0，而 η1，η2，⋯， η t 是 Ax＝0 的基础解系，那么η1，η2，⋯， ηt 必定线性无关，从而 k1 ＝k2 ＝⋯＝ kt ＝0，带入 (3) 有 k0＝0. 所以 k 0＝k1＝k 2＝⋯＝ k t＝0α ， α ＋ η1，α ＋η2，⋯， α ＋ηt 线性无关 . （或用秩） η1，η2，⋯， ηt 线性无关， α 是 Ax＝b 的解α 不能由 η1，η2，⋯， ηt 线性表出 . x 1η1＋x 2η2＋⋯＋ x t ηt ＝ α 无解r( η1，η2，⋯， ηt ) ≠ r( η1， η2，⋯， ηt， α ) r( η1，η2，⋯， ηt)＝tr( η1， η2，⋯， ηT， α ) ＝t ＋ 1 r( α ...
