§13.5 常微分方程、拉氏变换与级数实验 [学习目标] 1. 会 用 Mathematica 求 解 微 分 方 程 （ 组 ） ； 2. 能 用 Mathematica 求 微 分 方 程 （ 组 ） 的 数 值 解 ； 3. 会 利 用 Mathematica 进 行 拉 氏 变 换 与 逆 变 换 ； 4. 能 进 行 幂 级 数 和 傅 里 叶 级 数 的 展 开 。 一、 常微分方程（组） Mathematica 能求常微分方程（组）的准确解，能求解的类型大致覆盖了人工求解的范围，功能很强。但不如人灵活（例如在隐函数和隐方程的处理方面），输出的结果与教材上的答案可能在形式上不同。另外，Mathematica 求数值解也很方便，且有利于作出解的图形。在本节中，使用Laplace 变换解常微分方程（组）的例子也是十分成功的，过去敬而远之的方法如今可以轻而易举的实现了。 求准确解的函数调用格式如下： DSolve[eqn，y[x]，x] 求方程eqn 的通解y（x），其中自变量是x。 DSolve[{eqn，y[x0]= =y0}，y[x]，x] 求满足初始条件y（x0）= y0的特解y（x）。 DSolve[{eqn1，eqn2，…}，{y1[x]，y2[x]，…}，x] 求方程组的通解。 DSolve[{equ1，…，y1[x0]= =y10，…}，{y1[x]，y2[x]，…}，x] 求方程组的特解。 说明：应当特别注意，方程及各项参数的表述方式很严格，容易出现输入错误。微分方程的表示法只有通过例题才能说清楚。 例1 解下列常微分方程（组）： （1）25)1(12xxyy，（2）yxxyy)(132， （3） yzzy， （4）yzzy的通解及满足初始条件y（0）=0，z（0）=1 的特解。 解：In[1]：=DSolve[y′[x]= =2y[x]/（x+1）+（x+1）^（5/2）， y[x]，x] Out[1]=]1[)1()1(32][22/7cxxxy In[2]：=DSolve[y′[x]= =（1+y[x]^2）/((x+x^3）y[x])，y[x]，x] Out[2]={{2211]1[11][xcxxy}， {2211]1[11][xcxxy}} 66 In[3]：=DSolve[{y′[x]= =z[x]，z′[x]= = -y[x]}， {y[x]，z[x]}，x] Out[3]={{y[x]→C[1]Cos[x]+ C[2]Sin[x]， z[x]→C[2]Cos[x]- C[1]Sin[x]}} In[4]：=DSolve[{y′[x]= =z[x]，z′[x]= = -y[x]，y[0]= =0，z[0]= =1}， {y[x]，z[x]}，x] Out[4]={{y[x]→Sin[x]，z[x]→Cos[x]}} 提示：认真观察上例，可以从中学习输入格式，未知函数总带有自变量，等号用连续键入两个等号表示，这两点由于不...
