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Mathematica——常微分方程、拉氏变换与级数实验VIP免费

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§13.5 常微分方程、拉氏变换与级数实验 [学习目标] 1. 会 用 Mathematica 求 解 微 分 方 程 ( 组 ) ; 2. 能 用 Mathematica 求 微 分 方 程 ( 组 ) 的 数 值 解 ; 3. 会 利 用 Mathematica 进 行 拉 氏 变 换 与 逆 变 换 ; 4. 能 进 行 幂 级 数 和 傅 里 叶 级 数 的 展 开 。 一、 常微分方程(组) Mathematica 能求常微分方程(组)的准确解,能求解的类型大致覆盖了人工求解的范围,功能很强。但不如人灵活(例如在隐函数和隐方程的处理方面),输出的结果与教材上的答案可能在形式上不同。另外,Mathematica 求数值解也很方便,且有利于作出解的图形。在本节中,使用Laplace 变换解常微分方程(组)的例子也是十分成功的,过去敬而远之的方法如今可以轻而易举的实现了。 求准确解的函数调用格式如下: DSolve[eqn,y[x],x] 求方程eqn 的通解y(x),其中自变量是x。 DSolve[{eqn,y[x0]= =y0},y[x],x] 求满足初始条件y(x0)= y0的特解y(x)。 DSolve[{eqn1,eqn2,…},{y1[x],y2[x],…},x] 求方程组的通解。 DSolve[{equ1,…,y1[x0]= =y10,…},{y1[x],y2[x],…},x] 求方程组的特解。 说明:应当特别注意,方程及各项参数的表述方式很严格,容易出现输入错误。微分方程的表示法只有通过例题才能说清楚。 例1 解下列常微分方程(组): (1)25)1(12xxyy,(2)yxxyy)(132, (3) yzzy, (4)yzzy的通解及满足初始条件y(0)=0,z(0)=1 的特解。 解:In[1]:=DSolve[y′[x]= =2y[x]/(x+1)+(x+1)^(5/2), y[x],x] Out[1]=]1[)1()1(32][22/7cxxxy In[2]:=DSolve[y′[x]= =(1+y[x]^2)/((x+x^3)y[x]),y[x],x] Out[2]={{2211]1[11][xcxxy}, {2211]1[11][xcxxy}} 66 In[3]:=DSolve[{y′[x]= =z[x],z′[x]= = -y[x]}, {y[x],z[x]},x] Out[3]={{y[x]→C[1]Cos[x]+ C[2]Sin[x], z[x]→C[2]Cos[x]- C[1]Sin[x]}} In[4]:=DSolve[{y′[x]= =z[x],z′[x]= = -y[x],y[0]= =0,z[0]= =1}, {y[x],z[x]},x] Out[4]={{y[x]→Sin[x],z[x]→Cos[x]}} 提示:认真观察上例,可以从中学习输入格式,未知函数总带有自变量,等号用连续键入两个等号表示,这两点由于不...

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