FEDCBA第三讲正方形的性质与判定一、知识要点1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：1 边的性质：对边平行，四条边都相等．2 角的性质：四个角都是直角．3 对角线性质： 两条对角线互相垂直平分且相等，? 每条对角线平分一组对角．4 对称性： 正方形是中心对称图形， 也是轴对称图形．平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定1：对角线相等的菱形是正方形2：对角线互相垂直的矩形是正方形, 正方形是一种特殊的矩形3：四边相等 , 有一个角是直角的四边形是正方形4：一组邻边相等的矩形是正方形5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形二、典型例题例 1如图 12-2-14 ，已知过正方形ABCD对角线 BD上一点 P，作 PE⊥BC于 E，作 PF⊥CD于 F．试说明 AP＝EF．正方形菱形矩形平行四边形分析： 由 PE⊥BC，PF⊥CD知，四边形 PECF为矩形，故有EF＝PC，这时只需证AP＝CP，由正方形对角线互相垂直平分知AP＝CP．解： 连结 AC、PC， 四边形 ABCD为正方形，∴BD垂直平分AC，∴AP＝CP． PE⊥BC，PF⊥CD，∠ BCD＝90° ，∴四边形 PECF为矩形，∴PC＝EF，∴AP＝EF．注意： ①在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等．②无论是正方形还是矩形经常通过连结对角线证题，这样可以使分散条件集中．思考： 由上述条件是否可以得到AP⊥EF．提示： 可以，延长AP交 EF于 N，由 PE∥AB，有∠ NPE＝∠ BAN．又∠ BAN＝∠ BCP，而∠ BCP＝∠ PFE，故∠ NPE＝∠ PFE，而∠ PFE＋∠ PEF＝90° ，所以∠ NPE＋∠ PEF＝90° ，则 AP⊥EF．例 2如图 12-2-15 ，△ ABC中，∠ ABC＝90° ， BD平分∠ ABC，DE⊥ BC，DF⊥AB，试说明四边形 BEDF是正方形．解： ∠ ABC＝90° ， DE⊥BC，∴DE∥AB，同理， DF∥BC，∴BEDF是平行四边形． BD平分∠ ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF．又 ∠ ABC＝90° ， BEDF是平行四边形，∴四边形 BEDF是正方形．思考： 还有没有其他方法？提示： ( 有一种方法可以证四边形DFBE为矩形，然后证BE＝DE，可得．另一种方法，可证四边形DFBE为菱形，后证一个角为90° 可得 )注意： 灵活选择正方形的识别方法．例 3 如图 12-2-16所示，四边形ABCD是正方形，△ ADE是等边三角形，求∠BEC的大小．...
