课后题答案详解 吉 林 大 学 《数值计算方法》 《数值计算方法》第一章课后题答案 1 第一章 习 题 答 案 1. 已知( 1)2,(1)1,(2)1fff−=== ，求( )f x 的Lagrange 插值多项式。 解：由题意知： ( )012012120010202110120122021201,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)( )2162nj jjxxxyyyxxxxxxlxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxlxxxxxxxxL xy lx== −=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==× +×−∴∑()2(1)(1) 131386xxxx+−+×=−+ 2. 取节点01210,1,,2xxx===对xye−=建立 Lagrange 型二次插值函数，并估计差。 解11201201210,1,;1,,2xxxyyeye−−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得： 02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()( )()()()()()()2(1)(0.5)2 (0.5)4 (1)(224)(43)1xxxxxxxxxxxxL xyyyxxxxxxxxxxxxxxx xex xeeexeex−−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+2 2)Lagrange根据余项定理，其误差为 (3)22 10122( )1|( ) | |( ) | |(1)(0.5) |3!61 max | (1)(0.5) |,(0,1)6( )(1)(0.5),( )330.50330.2113( )61( )0.2113 (0.2113 1) (0.21130.5)0.008026xfR xxex xxx xxt xx xxt xxxxt xR xξξ ωξ−+≤ ≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值 3. 已知函数yx=在4,6.25,9xxx===处的函数值，试通过一个二次插值函数求7 的近似值，并估计其误差。 解：0120124,6.25,9;2,2.5,3yxxxxyyy=======由题意知： （1） 采用 Lagrange 插值多项式220( )( )jjjyxLxlx y==≈= ∑ 《数值计算方法》第一章课后题答案 2 270201120120102101220217( ) |()()()()()()()()()()()()(76.25)(79)(74)(79)(74)(76.25)22.532.25 52.25 2.752.75 52.6484848xyL xx xx xx xx xx x x xyyyxx xxxxxxxxxx==≈−−−−−−=++−−−−−−−−−−−−=× +×+××−××= 其误差为 (3)25(3)25(3)2[4,9]2( )(7)(74)(76.25)(79)3!3( )83max |( ) |40.0117281|(7) |(4.5)(0.01172)0.008796fRfxxfxRξ−−=−−−==<∴<=又则 （2）采用Newton 插值多项式2( )yxNx=≈ 根据题意作差商表： i ix ( )if x 一阶差商 二阶差商 0 4 2 1 6.25 2.5 29 2 9 3 211 4495− 224(7)2(74)() (74) (76.25)2.64848...
