求圆锥曲线离心率几种方法

1 / 6 关于椭圆离心率设椭圆 xaybab222210（） 的左、右焦点分别为FF12、，如果椭圆上存在点P，使F PF1290 ，求离心率e 的取值范围。解法 1：利用曲线范围设 P（x，y），又知 FcFc1200（， ），（ ， ） ，则F PxcyF PxcyF PFF PF PF P F Pxc xcyxyc1212121222229000()()()()，，，由，知，则，即得将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得xa ca babF PFxaa ca baba2222222122222222229000但由椭圆范围及知即可得，即，且从而得，且所以， ）cbcaccaecaecae2222222221221[解法 2：利用二次方程有实根由椭圆定义知|| ||||||||||PFPFaPFPFPFPFa1212221222242 / 6 又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此F PFPFPFF FcPFPFacPFPFuauac12122212221222122229042220||||||||||()||||()4801222222222aacecae()因此，e[)221解法 3：利用三角函数有界性记PF FPF F1221，，由正弦定理有||sin||sin||sin|| ||sinsin|||| ||||sinsinsincoscosPFPFF FPFPFF FPFPFaF Fceca121212121212902211222122又，，则有而知从而可得09002452221221||||cose3 / 6 解法 4：利用焦半径由焦半径公式得||||||||||PFaexPFaexPFPFF Facxe xacxe xcae xcxcaePxyxaxa12122212222222222222222222224220，又由，所以有即，又点（ ， ）在椭圆上，且，则知，即022212222caeae得， ）[解法 5：利用基本不等式由椭圆定义，有212aPFPF|| || 平方后得42228212221212221222aPFPFPFPFPFPFF Fc||||||||(|||| )||得 ca2212所以有， ）e[221解法 6：巧用图形的几何特性由F PF1290 ，知点 P在以 ||F Fc122 为直径的圆上。又点 P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P 故有 cbcbac2222由此可得， ）e[2214 / 6 演练一、直接求出或求出 a 与 b 的比值，以求解。在椭圆中，，1. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，则椭圆的离心率等于_____2. 已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2 倍，则其离心率为_____3. 若椭圆经过原点，且焦点为, 则椭圆的离心率为____4. 已知矩形 ABCD，AB＝ 4，BC＝3，则以 A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为___5. 若椭圆短轴端点为满足，则椭圆的离心率为___6.. 已知则当 mn取得最小值时，椭圆的的离心率为____ac，eace22222221ababaacace)0,3(),0,1(21FF)0(,12222babyaxP21PFPFe)0.0(121nmnm12222nymx5 / 6 7. 椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，...